— 249 - 



cuando el coeficiente de w que figura bajo el coseno es ra- 

 cional (como en este caso), y transcendente en los demás, y 

 se compone evidentemente de tantas ramas como indica el 

 citado coeficiente cuando es entero (tres en este caso), y en 

 el caso de ser fraccionario, y supuesto irreducible, el valor 

 que indica el numerador ó su doble, según sean ambos tér- 

 minos de la misma ó distinta paridad. En nuestro caso salta 

 á la vista que la recta inclinada 30° sobre el eje de las x y 

 su simetría son asíntotas de la curva. Las espigas son cua- 

 drables; pero su rectificación depende de integrales elípticas 

 de primera y segunda especie. 



Aún más generalmente puede observarse que la curva 

 que estudiamos es el lugar geométrico de las intersecciones 

 de la circunferencia 



x2 + 3;2 = KR^ 



y la cúbica 



2x (jc2 — 3y^) = {K^ + K— 1) R^ 



siendo K un parámetro (numérico) variable. 



Basta para convencerse de ello, eliminar K entre ambas 

 ecuaciones. 



La ecuación de dicha línea de tercer orden en coordena- 

 das polares es: 



^3_ (/r^ + /<r-i)/?3 



2 eos 3 w 



que representa una curva análoga á las espigas. Haciendo 

 variar K se obtendrían cuantos puntos se quisieran de la 

 curva que estudiamos; pero claro está que este sería un 

 procedimiento puramente teórico. 

 Bajo el punto de vista práctico hay que determinar gráfica 



