- 400- 



Y tres casos pueden presentarse aquí también. 



Que el primer miembro de dicha ecuación sea una dife- 

 rencial exacta de una función de x, y, z, es decir, que dife- 

 renciada resulte precisamente la ecuación anterior. 



Puede suceder también, que dicho primer miembro no sea 

 una diferencial exacta; pero que, multiplicándolo por cierto 

 factor, función de x, y, z, resulte una diferencial exacta é in- 

 mediata. 



Y por último, puede ocurrir que ni sea una diferencial 

 exacta ni exista un factor capaz de hacerla integrable. 



Y ocurre preguntar antes de pasar más adelante : ¿Es esto 

 posible? ¿Existen expresiones lineales en dy, dx, dz, para 

 las cuales no exista ningún factor capaz de hacerlas inte- 

 grables? 



Para demostrarlo basta presentar un ejemplo. 

 Sea la ecuación diferencial 



dx -\- dy -\- xdz = 0. 



Supongamos que existiese un factor capaz de hacer inte- 

 grable esta ecuación, y designemos este factor, ó sea esta 

 función de x, y, z por a; multiplicando el primer miembro 

 por esta función tendremos 



adx-\- ady -]- a xdz = 0. 



Si esta ecuación es una diferencial exacta, deberá satisfa- 

 cer á las condiciones de integrabilidad, que como sabemos 

 serán las siguientes: 



do. da da. dtx da dc/.x 



dy dx ' dz dx ' dz dy 

 ó desarrollando, 



da da da , da da da 



= a + X ; = X 



dy dx ' dz dx' dz dy 



