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é in virtiendo las dos funciones 'f , <|>, es decir, poniendo cada 

 una en lugar de la otra, obteníamos una expresión análoga á 

 la precedente, y restando ambas, llegábamos á una fórmula 

 de, transformación de integral triple en integral doble, que es 

 de mucho uso en Física matemática, como veremos más ade- 

 lante. 



Pero al terminar la conferencia insinuábamos esta duda. 

 ¿Es legítima la inversión de las funciones 'f y 4? Sí; es legí- 

 tima, pero no es evidente, aunque la demostración, como ve- 

 remos, es elemental y sencillísima. 



No es evidente, repetimos, porque, al fin y al cabo, ambas 

 funciones .;, •}, tienen significación completamente distinta 

 en el problema: la primera es la integral que resulta cuando 



Fdx + Gdy + Hdz 



se hace integrable; la segunda el factor inverso de integrabi- 

 lidad, cosa bien diferente de la primera. 



Para demostrar que la inversión de que se trata puede 

 hacerse, hay que demostrar, que siempre existe una ecuación 

 diferencial 



F^dx : G^dy -\-H^dz = o 



tal, que su integral es '| y que su factor inverso de inte- 

 grabilidad es 'f , en cuyo caso, aplicando la misma fórmula 

 de Oreen al vector cuyas componentes sean F^, Gi, H^, se 

 obtendrá la fórmula indicada con las dos funciones 'f y <j> in- 

 vertidas. 



Veamos ahora cuál es la demostración. 



Hallamos en la última conferencia que F, G, H se expre- 

 saban en valores de f y tb de este modo: 



, cf® do tíco 



dx ^ dy ' dz 



