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la integral I — ; — dy tiene por integral indefinida á P y 



dP 



dy 



como se refiere á un filete bb' ce (fig. 26 bis), paralelo al eje 

 de las y, puesto que la y varía, y la x permanece constante 

 en la integración, llamando P^ al valor de P para el límite 

 superior b', y Pq al valor correspondiente al límite inferior b, 

 resultará: 



/ 



dy^P, — Po. 

 dy 



Y poniendo ambas integrales parciales en la fórmula pri- 

 mitiva, obtendremos 



f{Pdx^Qdy^=^ Cdy{Q,-Q,)- C dx{P,- P,) 



ó bien 



C {Pdx + Pdy)= Cq.dy- VQ,dy-Cp,dx^ fpi í/x; 



pero el segundo miembro puede ponerse bajo otra forma 

 más sencilla, que es precisamente la forma bajo la cual está 

 puesto el primer miembro, y hecha esta transformación, los 

 dos miembros de la ecuación resultan iguales, y la identi- 

 dad queda demostrada. 



Supongamos, en efecto, que un punto va recorriendo la 

 línea L de la figura 26 en un sentido determinado; por ejem- 

 plo, en el que marca la fecha, que es el de las manecillas de 

 un reloj. 



En esta hipótesis , si trazamos las dos tangentes parale- 

 las al eje de las x, la superior que pasa por el punto A y 

 la inferior que pasa por el punto más bajo B, en la integral 



/ 



Qi dy todos los incrementos de y desde el punto A al 



