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que se reduce á 



= 0. 



La condición queda, pues, satisfecha, no sólo para todos 

 los puntos de la superficie, sino para todos los puntos del 

 campo vectorial. 



De aquí resulta que es condición necesaria para que la ex- 

 presión Pdx + Qdy -|- Rdz sea integrable, que el vector 

 torbellino sea en cada punto perpendicular al vector del cam- 

 po, es decir, que se verifique la condición (c). 



En cálculo integral se demuestra que esta condición no 

 sólo es necesaria, sino que es suficiente, y los que quieran 

 refrescar sus ideas en este punto, pueden consultar cualquier 

 tratado de Análisis infinitesimal, por ejemplo, el tratado ex- 

 celente de cálculo de Mr. Humbert, donde verán cual es el 

 método de integración, siempre que se verifique la condición 

 de integrabilidad (c). 



Las notaciones son distintas, y la condición de integrabi- 

 lidad tiene otra forma, pero con facilidad suma se identifican 

 ambas condiciones; la forma (c) puede decirse que es clásica. 





El tercer caso es aquel en que Fdx-\- Qdy ^ Rdz es 

 una diferencial exacta. 



Para que esto se verifique es preciso que el vector torbe- 

 llino se anule, porque en efecto, se sabe por el estudio del 

 cálculo infinitesimal, que las condiciones necesarias y sufi- 

 cientes para que dicha expresión sea una diferencial exacta, 

 son estas: 



^_^ = ^--^ = ^Q ^^ =0 

 dy dz ' dz dx ' dx dy 



