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1.° Cuando la constante G, recibe un número infinito de 

 valores dependientes de x , según una cierta ley. 



2.° Cuando o, toma un determinado número de valores, 

 dependientes aún de x, y también según una cierta ley; y 

 3.° y último, cuando o, recibe un número determinado de 

 valores, independientes completamente de x. 



Después de estos preliminares, precisa pasar inmediata- 

 mente á la determinación de las diferentes fórmulas que, se- 

 gún los procedimientos ordinarios, nos pueden conducir á 

 la determinación de las integrales singulares. 



Sabido es, que dada la función finita como integral, se 

 obtiene la ecuación diferencial que le corresponde, derivando 

 la función integral, según x, y eliminando luego la constante. 



Empero las integrales singulares corresponden á la en- 

 volvente de las diferentes involutas representadas por las 

 integrales particulares que se deducen de la integral ge- 

 neral; de suerte, que el estudio de las integrales singulares, 

 nos pone en relación de todo lo que se consigna también en 

 la primera parte de esta Memoria, haciéndose á este punto 

 indispensables las consideraciones analíticas y geométricas 

 contenidas en la misma, al objeto de explicarnos ciertas ano- 

 malías aparentes que presentan dichas integrales singulares. 



Supongamos que 



f{x,y,G)=o, (1) 



sea la integial general de una ecuación diferencial de primer 

 orden y de un grado cualquiera, tal como: (2) F{x,y,y')=o. 



La integral singular de (2), podemos suponer que sea 

 cp(x,3;)=o, la cual debe satisfacer á (2); sin que sea posible 

 deducirla de (1), por ningún valor particular atribuido á la 

 constante G. 



Ahora bien, si suponemos que G sea función, en general, 

 de X é y, cabe admitir: f{x, y, g) = ® (x, y); de modo que 

 al deducir de esta igualdad la expresión de G, sustituyendo 

 luego su valor en /, debe dar por resultado una identidad. 



