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Esta generalización, atribuida á la integral general, nos 

 permite extender el círculo de acción, pasando más allá de 

 lo que pueden dar las integrales particulares, entrando ya 

 en el terreno de la teoría de las involutas y envolventes, y 

 por ende al estudio de las integrales singulares. 



Comencemos suponiendo que la constante dependa sólo 

 de una de las variables, y en este concepto podremos sentar 

 los principios siguientes: 



Cuando g es función sólo de x, la integral singular contie- 

 ne á entrambas variables, ó en el caso de contener una sola, 

 ésta será y. 



En efecto, suponiendo conocida la integral general, así 

 como la singular, si se quiere expresar o en función de una 

 de las dos variables, es preciso eliminar la otra, entre las 

 dos ecuaciones anteriores; de modo que si G es función de x, 

 precisa eliminar la y, lo cual obliga que ésta conste en la in- 

 tegral singular. 



De un modo análogo puede demostrarse que si G es fun- 

 ción de y, la integral singular debe contener x, ya sola ó 

 junto con y. 



Después de lo que precede, supongamos ahora que la in- 

 tegral general (1), se resuelva según y; así tendremos 



y = '^(x, G). 



Si se considera G constante, la derivada de esta ecuación 

 será: 



y = DxTz (x, G). 



Eliminando G entre estas dos ecuaciones, se obtendrá la 

 ecuación diferencial correspondiente (2). 

 Empero, si suponemos que G dependa de x, se tiene 



y' ^Dx-K {x, G) i- Dgiz^x, g) DxC, 

 y para que esta igualdad corresponda con la anterior, es 



