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df 

 4.^ El valor de G que transforma — ^^, en la tercera cate- 



dy 



df 

 goría de cantidad, debe procurar lo mismo para — ^. 



Notable es el ejemplo que presenta Serret, para probar 



df 

 que si los valores G, que se obtienen de — ~ = o, anulan á 



aG 

 df df 

 J y —¿—^ los resultados que se deducen, al sustituirlos en 



dx dy 



la integral general, pueden dejar de satisfacer á la ecuación 

 diferencial correspondiente, por cuyo motivo no podrán con- 

 siderarse dichos resultados como integrales singulares. 

 En efecto, sea la ecuación 



(1 ) /(x, y, G) = (3 X j; -h 2 X» + g)^ - 4 (y + x^^ = o, 



la integral de una cierta ecuación diferencial, la cual para 

 hallarla será suficiente eliminar G entre (1) y su derivada 

 según X, conforme á los cálculos que á continuación se 

 expresan: 



2 (3 xy + 2 x^ -I- G) (3 x_v' + 3 y + 6 x^) — 

 -12(>; + x2)2(/ + 2x)=o, 



luego 



x/ + }; + 2x2 



Al sustituir este valor en (1), después de simplificar, se 

 tiene 



{y + yñ (/ -F 2 x)^ - (x/ + ^ + 2 x^)^ = o, 



o sea 



{y + yñ (/ + 2x)2 - [X {y' + 2x) + y]2 = o; 



