- 862 - 



de donde 



X ~y 



y — — . 



2{a-x) 



Al sustituir este valor en (a), se obtiene inmediatamente, 

 después de simples operaciones, 



(x + yY — 4 ya = o. 



Ecuación de la integridad singular, igual á la que se halló 

 por el primer procedimiento. 



Notables son las consideraciones geométricas de Lagran- 

 ge, para explicar este segundo procedimiento, á cuyo fin in- 

 teresa tener presente los conceptos geométricos dentro de lo 

 infinitésimo que se indican en la primera parte. 



Lagrange, dice: Puesto que la integral singular, debe 

 representar la envolvente de la serie de líneas que satisfa- 

 cen ala ecuación diferencial, se comprende que esta envol- 

 vente no puede existir, sino cuando las líneas de la serie se 

 encuentran, esto es, cuando la ecuación f{x,y,y')=o, (1), 

 pueda dar para y' muchos valores en un mismo punto del 

 plano, lo cual obliga á que la ecuación diferencial sea á lo 

 menos de segundo grado respecto á y'; según este supuesto, 

 la envolvente es el lugar geométrico de puntos donde dos 

 á dos, las líneas infinitamente próximas de la serie se cor- 

 tan; y á estos puntos corresponderán, por consiguiente, raí- 

 ces dobles de la ecuación en y', y su lugar se obtendrá ex- 

 presando la condición para que la ecuación diferencial tenga 

 una raiz doble, correspondiendo á la vez con la tangente á 

 la envolvente; de suerte, que al eliminar y' entre la ecua- 

 ción (1), y su derivada, según j;', se obtendrá la ecuación de 

 le envolvente, ó sea la integral singular. 



Empero, á este punto hay que advertir que la relación en 

 x áy obtenida, no siempre satisface á la ecuación diferencial 

 dada, pues como manifiesta con sumo acierto el matemáti- 



