— 864 - 

 Para que las raíces sean iguales, supondremos 



^2 x2 _ (;.2 _ ^2) (;.2 _ ^2) ^ Q^ 



de donde 



r2 = x2 + yK (a) 



Ecuación que será la integral singular, si satisface á la 

 ecuación diferencial. 

 A fin de averiguarlo, tómese la derivada de (a) 



dy X 



i 



dx y 



valor que, sustituido en (6), da una identidad, lo cual signi- 

 fica que (a) es integral singular de la ecuación diferencial 

 dada. 



Esta particularidad tiene su explicación, según la observa- 

 ción importante de Serret. 



Si consideramos la ecuación diferencial dada, escrita bajo 

 la forma siguiente: 



v'2 (r^ — x^) + 2 yx/ 4- /-2 — 3/2 == o, 

 llamando 



a = /-2 _ x2^ ¿7 = 2 yx, G = r2 — /. 



Al tomar el valor hallado de la raíz doble 



yx 



y 



r' — X- 



para que satisfaga á la ecuación anterior, es preciso que G 

 cumpla con cierta condición para que dicha ecuación se 

 pueda expresar por 



yx y 



^ » — o. 



(^- + 7a?) 



