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Y según principios de las ecuaciones de segundo grado, 

 debe resultar que 



G = , osea = r2 — v^ 



4a 4(r2 — x2) 



Y efectivamente, en este caso se cumple la condición, 

 puesto que atendiendo al valor a, resulta para el primer 

 miembro la misma expresión del segundo. 



Además, puede suceder que la función en x é y, aunque 

 satisfaga á la ecuación diferencial, no sea una integral singu- 

 lar, sino una integral particular de la general. 



Si la integral general es conocida, fácilmente se salva la 

 dificultad. 



Sea la ecuación diferencial de primer orden 



f{^.y.y')=^o (1) 



y supongamos que por un procedimiento cualquiera hayamos 

 hallado la función cp (x, y) = o (2) que la satisface, siendo la 

 integral general de (1): 



F{x,y,^) = o. (3) 



Si la relación (2) representa una integral particular, tendrá 

 que identificarse con (3), por un valor particular atribuido á 

 la constante. 



Empero, cuando la integral general no es conocida, enton- 

 ces, si la solución © (x, y) = o es una integral singular, de- 

 berá representar la envolvente de las diferentes líneas como 

 involutas, correspondientes á las integrales particulares de- 

 ducidas de la integral general. 



De modo que en cada uno de los puntos de la envolvente 

 la y\ tanto por la integral particular que la corresponde, 

 como por la envolvente, debe ser la misma, resultando, en 

 general, entre las dos líneas un contacto de primer orden. 



Rev. Acad, db Ciencias. — VIII.— Mayo, 1910. 59 



