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é invirtiendo en la segunda integral la línea de integración 

 y cambiando el signo, como antes explicábamos, 



r {Pdx+Qdy-\-Rdz)^ f {Pdx-\- Qdy -\- Rdz) = o. 



Ja abB JB V a' A 



Pero, integrar según la línea AabBy después, á lo largo 

 de la línea Bb'a'A, es lo mismo que integrar á lo largo de la 

 línea cerrada A ab Bb'a'A, ó abreviadamente para no escri- 

 bir tantas letras AaBa'A, luego 



r {Pdx -f Qdy + Rdz) = o. 



jAaBa' A 



En resumen, la condición de que la integral entre Ay B 

 sea la misma, sea cual fuere la línea de integración, se re- 

 duce á esta otra más sencilla, que es la que habíamos anun- 

 ciado: que la integral á lo largo de cualquier línea cerrada, 

 es decir, que parta de i4 y que vuelva á A, ha de ser igual á o. 



Recíprocamente, si se verifica esta condición, se verifi- 

 cará la primera, porque hagamos pasar por B una línea ce- 

 rrada, y apliquemos los razonamiencos de antes en orden 

 inverso, suprimiendo para abreviar la escritura Pdx + Qdy 

 Rdz Y tendremos 



r =„;r =r +r .r -c =. 



jAaBa'A jAaBa'A J AaB jBa'A jAaB jAa'B 



luego 



r =r • 



jAaB JAa'B 



De modo que si la integral es cerrada para un punto A, 

 las integrales para todos los caminos desde A á otro punto 

 cualquiera B serán iguales. 



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