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conserve en toda la extensión de dicha área ei mismo signo. 

 Mas en este caso, como la suma de cantidades que tienen 

 el mismo signo no puede ser o, la integral del segundo miem- 

 bro, no podría anularse, y como ha de ser rigurosamente 

 nula, deberemos tener idénticamente 



dR dQ 



= 0. 



dy dz 



Decimos idénticamente, es decir, para todos los valores 

 X, y, z del campo de los vectores. 



Repitiendo esto mismo para un área suficientemente pe- 

 queña del plano de las xz, y para otra del plano de las xy, 

 veremos que los otros dos binomios de la fórmula deben 

 reducirse á o, y tendremos por fin: que para que en un cam- 

 po de vectores, las integrales de línea que representan el 

 trabajo entre dos puntos, sean independientes del camino 

 seguido y sólo dependan de los puntos que se elijan, debe- 

 rán verificarse idénticamente, es decir, para todos los valores 

 de X, y, z, estas tres condiciones, que serán necesarias y se- 

 rán suficientes, según se deduce de la anterior demostración: 



dR dQ . dP dR dQ dP 



^ = o, = o, -—^ =0. (1) 



dy dz dz dx di dy 



Estas serán también las condiciones, según lo expuesto, 

 para que en dicho campo de vectores, la integral, á lo largo 

 de una línea cerrada, partiendo de cualquier punto, sea 

 igual á cero. 



* 



* * 



Ahora bien, se sabe por cálculo integral, que las ecuacio- 

 nes (1) son las condiciones necesarias y suficientes para que 



Pdx^Qdy-\-Rdz = o 

 sea una diferencial exacta de x, y, z. 



