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Y esto era evidente, y el teorema, puede decirse que esta- 

 ba demostrado de antemano, porque ya lo habíamos demos- 

 trado en las conferencias del año anterior. 



Mas volvamos á repetir algo de lo que allí dijimos. 



Si P dx4- Qdy -\- Rdz es una diferencial exacta de una 

 función de tres variables x, y, z, á saben <p (x, y, z), tendre- 

 mos (fig. 37) 



r {Pdx-^Qdy + Rdz)= f í/cp (x, y, 2). 



jAaB jAaB 



La integral del último miembro, que es la suma de los di- 

 ferentes valores de í/o» entre A y B, tiene por integral inde- 

 finida cp {x, y, z) y si representamos por Xq, ^o» ^o las coor- 

 denadas de ^, y por x-^, y^, z^ las coordenadas de B, tendrá 

 evidentemente 



f 



JAaB 



(Pdx + Qí/y + Rdz) = cp (x^, y^, z^) — cp {xo, yo, z^); 



donde se ve comprobada la propiedad fundamental, á saber: 

 que la integral á lo largo de cualquier línea que vaya de A 

 á B, no depende de dicha línea, sino de las coordenadas de 

 los puntos extremos, ó si se quiere de la posición de los 

 puntos A, B. 



Esta propiedad, aun puede expresarse en términos más 

 generales. 



En efecto; definamos una superficie del campo de vecto- 

 res por la ecuación 



cp (x, y,z):^C 



siendo C una constante arbitraria. 



Supongamos que á esta constante se le da una serie de 

 valores, continuos ó discontinuos, y tendremos (fig. 40) una 



