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Mas conforme al método que desarrollamos precisa en- 

 contrar la segunda ecuación diferencial que se enlaza con (1), 

 y de la cual se puede asegurar á priori que tendrá por inte- 

 gral singular la función (2). 



Según las consideraciones generales que preceden, toma- 

 remos la derivada en x de (1'), de donde 



(1— g2) + 2g/ = o, 

 ó sea 



G = /± V/2+ 1; 



al sustituir este último valor en (1'), se obtiene 



(4) x^2y [y' ± V/^ + 1 ] — x [2/2 -\-\±2y' V/2 + 1 ]=o. 



Ecuación que queda satisfecha por la derivada de (2), 

 siendo (2), con seguridad, la integral singular de (4). 



Según lo que precede, vemos que (2) también se puede 

 considerar integral singular de (1), puesto que la satisface; 

 empero esto resulta porque la ecuación (1) no es sino una 

 consecuencia de (4). 



En efecto, la ecuación (4) cabe expresarla por 



(5) x-\-2yy'±2y ^¡y'^ 4- 1 — x^ — x {y'^ + 1) + 2xy' V/H^=<?; 

 pero según {a), resulta: 



y^ y^ 



y en virtud de (2), se tiene y'^ -\-\ = o. 

 Asi, pues, de (5) sólo queda 



X + 2yy' — xy"^ = o, 

 cuya ecuación corresponde exactamente con la primitiva (1). 



