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En su virtud, la función (3) es integral singular tam- 

 bién de (1). 

 En efecto, puesto que al sustituir en ella los valores de 



4x3 4 



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deducidos de (3), se obtiene, después de sencillas operacio- 

 nes, la identidad o = o. 



En todos los ejemplos que preceden, que son precisa- 

 mente los que suelen presentar los autores de obras didác- 

 ticas, es de notar que la derivada de la función cp (x, y) = o, 

 satisface á la ecuación diferencial primitiva, pero esto, según 

 las observaciones notables de Serret, no resulta sino en ca- 

 sos particulares, pues al hallar la función ^, según el méto- 

 do de Lagrange, dejará de cumplirse, en general, dicha con- 

 dición, y si bien nuestro método tiene cierto parentesco con 

 el de Lagrange, la verdad es que la segunda ecuación dife- 

 rencial que consideramos, salva perfectamente la dificultad 

 que presenta el método de Lagrange, pues, con seguridad, 

 ella tiene por integral siempre á la función cp (x, y) == o. 



El ejemplo siguiente, de Serret, dará á comprender, sin 

 duda, la importancia que tiene esta segunda ecuación dife- 

 rencial que introducimos en los cálculos. 



Sea la ecuación: 



(1) y-2xy' -y^ = o. 



Al generalizarla, como en los ejemplos anteriores, se tiene 

 (1') y-2xQ — G^ = o =f{x,y, g); 



de donde 



df 



-^= — 2x — 2g = o, 

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