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nella NI che, per costruire le 10 rette della superficie $ 5 del 

 5.° ordine, generata da fi e da (P), bisogna procedere nel modo 

 seguente. 



Sopra due piani singolari a , a' di fi s' immagini l' omografia P 

 determinatavi da fi, e poi le correlazioni T , T' che vi determinano 

 insieme, una sopra ciascun piano, fi e (P). Si dica 9 la conica 

 inviluppo delle rette che, per mezzo di F, passano pei corrispon- 

 punti, e 9' la conica analoga che proviene per mezzo di T'. I due 

 coni P.9 , P.9' avranno 4 piani tangenti comuni, a ciascuno dei 

 quali corrisponderà una retta di fi, contenuta in esso. Si hanno 

 così 4 rette a i , a 2 , a ?> , a k che appartengono alla superficie. — 

 Posto <j(a l ,...,a i ) = A i ,...,A !i ;a'(a l ,...,a i ) = A\,...,A\, all'iper- 

 boloide Jik delle rette che uniscono i punti omologhi delle 

 rette Ai Ah , A'iA'h, corrispondenti in P, corrisponde in (P) un fascio 

 di piani j%. Il luogo delle intersezioni degli "elementi corrispondenti 

 di Jih e jik è una cubica decomposta nelle rette ai , ah ed in una 

 retta b/h appoggiata sia ad a; che a ah: bih è dunque una retta 

 della superficie, e questa possiede, perciò, le 10 rette 



a x , a z , a 3 , a k ; 6 J2 , & 23 , 6 31 , 6 14 , & 2i , b u (1) 



Evidentemente hanno, due a due, un punto comune 



& i 2 e K > \:ì e 6 n > hi e & 2ì 

 nel punto ove il raggio di fi, comune agli iperboloidi 



J ì2 e J 3l , J 23 e J u , J 31 e J 5i 



è tagliato dal corrispondente piano in (P), piano comune ai fasci 



Jn e Jv* >Jzì e Jv+ '-hi e Ju 



2. Ciò posto, se il sistema fi, pel fatto che P ha, sulla retta 

 oa' = s = t', un punto unito E, senza avere unita questa retta, si 

 decompone nella stella (E) ed in un sistema fi' del 2.° ordine e 

 l. a classe, come già mostrai nella NI, e di proposito trattai nella 

 NII, la superficie, fatta eccezione del piano di (P) corrispondente 

 del punto E, diventa del 4.° ordine a conica doppia; la costruzione 

 delle 10 rette precedenti rimane, ma ne intervengono altre 6, che 

 si costruiscono come segue. 



Detti 8,8' i punti di 0,0' che sono centri di prospettiva 

 per le coppie di punteggiate corrispondenti in P, W , ss', la retta 

 88.' = r è una retta della superficie; poiché ad essa sono appog- 

 giati Uitti i raggi di fi. Inoltre, si considerino le due punteggiate 



