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donde, para no recargar los términos, nos hemos limitado a suponer que 

 a>6>/->c> r'..., por orden de magnitud absoluta. 



En esta sucesión de términos, dividiendo unos por otros (o restándolos 

 por su orden, si, como se acostumbra, van expresados por sus logaritmos), 

 se obtienen primeramente los valores de a n , b n , c n , r n , r' n , eos «6 y 

 eos nV , y después los de a, b, c, r, r' . De dichos términos, aquellos coe- 

 ficientes que no son función de los argumentos, resultan siempre positivos 

 a partir de la primera transformada (donde las raíces reales, positivas o ne- 

 gativas, de la ecuación propuesta están ya elevadas al cuadrado), mientras 

 que los que aparecen multiplicados por eos /z6 y eos #6', llevarán el signo del 

 coseno correspondiente. Esta propiedad es exacta en la última transfor- 

 mada, y sólo aproximadamente se verifica en las anteriores; pero cada 

 vez más a medida que nos acerquemos a dicha transformada final. Como 

 los ángulos 6, 26, 2 2 6, etc., conforme crecen suelen variar rápidamente, 

 pasando de unos cuadrantes a otros, de aquí la circunstancia, bien adverti- 

 da en dichos términos, de cambiar con frecuencia de signo de una trans- 

 formada a otra; circunstancia que suele ser uno de los rasgos caracte- 

 rísticos de la existencia de raíces imaginarias, como ya antes hicimos 

 notar. 



Ahora bien: en la transformada última, en la que fundadamente se su- 

 . pone llevada a cabo la separación de las raíces reales y de los módulos, no 

 hay duda de que todo término que sea función de un argumento llevará el 

 signo del coseno del mismo ángulo, el cual podrá ser calculado. Y aunque 

 no sea fácil, ni acaso posible, demostrarlo, surge la conjetura de que en 

 las inmediatas transformadas precedentes, aunque no esté todavía comple- 

 tamente conseguida aquella separación (pero naturalmente con menos pro- 

 babilidad cuanto más nos acerquemos a la ecuación propuesta), predomine 

 el signo del coseno respectivo al término considerado. Si esa conje- 

 tura fuera cierta(y los hechos parece que la confirman) se podría aplicar la 



fórmula citada eos —a = ± /-^-(l + eos a), para ir descendiendo gra- 

 dualmente desde eos /z6 a eos 9 sin la ambigüedad del signo. Única- 

 mente el resultado sería dudoso en las primeras transformadas, y más toda- 

 vía en aquellas donde el coeficiente sometido al cálculo fuera nulo, como 

 sucede cuando la ecuación propuesta es incompleta. No es probable, aun en 

 este caso, que sea nulo cualquier coeficiente más que en la ecuación pro- 

 puesta y en las dos primeras transformadas, que suelen representarse por 

 las potencias 2 1 y 2 2 . 



Quedará, pues, generalmente determinado el eos 2 3 6, o sea eos 86, 

 siempre en la hipótesis de la concordancia de los signos de los coe- 



