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nos que contienen explícitos los argumentos de las raíces imaginarias, 

 pues no sólo varían sin ley apreciable de magnitud absoluta, sino que fre- 

 cuentemente varían también de signo al pasar de una transformada a otra, 

 El caso de haber raíces iguales, de cualquier género que sean, ofrece al- 

 gunas dificultades; pero también se consigue advertir su existencia y cal- 

 cular sus valores. 



El procedimiento de Encke, perfectamente explicado por el señor Meri- 

 no, para la determinación de las raíces imaginarias, o, mejor dicho, de los 

 factores de primer grado que entran en la composición de los trinomios de 

 segundo, exige el largo y laborioso cálculo del máximo común divi- 

 sor, cayendo así en las mismas complicaciones analíticas que se reprocha- 

 ban justamente a los métodos de Lagrange y demás matemáticos arriba 

 citados. Esos factores que Merino llama /en general, y cada uno de los 

 cuales tiene la forma 2rcos 6, siendo r el módulo y 6 el argumento de la 

 raíz, en la transformada correspondiente a la potencia n se convierte en 

 2r n eos /z6 , que resulta con la aproximación necesaria numéricamente 

 calculado; pero, aunque r n es conocido y por tanto r, del valor de eos n 6 

 tendríamos que descender a eos 6, operación que sería factible si supiéra- 

 mos cuál es el signo de cada uno de los valores intermedios de los cose- 

 nos de los múlt iplos de 6. B astaría entonces aplicar la sencilla fórmula 



eos— a = + 1/ — (1 4- eos a); mas siendo aquella sucesión de signos com- 

 pletamente desconocida, eos 6 podrá tener n valores correspondientes a 

 otros tantos ángulos distintos, o, en realidad, — si se atiende a que la fór- 



mula I/t¡-(1 ± eos a) se desdobla en estas dos l/-^-(l + eos a) = eos — a 



2 V ' ' 2 



n 



(1 — eos a) == sen — a, según sea el signo de eos a. 



El señor Carvallo, aunque en los ejemplos que expone calcula el valor de 

 eos /?6, no lo utiliza, y elude la dificultad mencionada indicando un inge- 

 nioso procedimiento, que se reduce a ir sustituyendo los valores de las 

 raíces de la última transformada en la precedente, retrocediendo así de 

 una manera gradual y sencilla en teoría hasta la ecuación propuesta; pero, 

 a juzgar por algunos ensayos que hemos verificado, nos parece que tal 

 procedimiento ha de ser complicado y expuesto a equivocaciones, y tal 

 vez su autor no estuviera con él muy encariñado, puesto que se limita a 

 señalar el orden de las operaciones sin aplicarle a ningún ejemplo. 



Cuando la ecuación dada contiene solamente un par de raíces imagina- 

 rias, basta hacer la suma de 2 reos 6 y de las raíces reales que pueda ha- 



