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que a su vez es < H(a, p, 7), y, por consiguiente, excepto el caso en que 

 (a, p, y) sean (0, 0, 0) (*), se tiene 



. H(«, p, 7 ) + H(-a, -p, - T )>0, [4] 



Es claro que (a, p, 7) satisfacen la ecuación a 2 -}- p 2 + 7 2 = 1 ; resulta, 

 pues, que, considerando una esfera de radio unidad, cuyo centro sea el 

 origen de coordenadas, tenemos que H(a, p, 7) es una función sobre 

 la esfera cuyos puntos se corresponden biunívocamente con los de la su- 

 perficie del cuerpo C, sin más que relacionar biunívocamente cada nor- 

 mal desde O al plano de contacto ir con el radio de la esfera paralelo a tal 

 dirección y del mismo sentido. 



Si H(a, p, 7) < 0, por la [4] será H( — a, — p, — 7) positivo y de ma- 

 yor valor, y, por consiguiente, el máximo de H es siempre positivo. Como 

 para nuestro objeto siempre se considera el sentido de la dirección, la H 

 se toma siempre positiva. 



Es fácil observar que una función H (a, p, 7) que cumple las condicio- 

 nes [l]-[4], define un cuerpo convexo. Que define un conjunto acotado 

 y cerrado, es inmediato. Que es convexo se demuestra sencillamente 

 viendo que si (jr l5 y t , z t ), (x 2 , y 2 > z%,) pertenecen al conjunto, también 

 (Xjtj + ¡xx 2 , ly 1 + h-# 2 > Xjgj + \¡.z 2 )\ X > 0, ¡j. > 0, X -4- p. = 1 . En efecto, 



-*i a + #iP + *iY<H(«-, p, 7), 



-*'2 a + y$ + # 2 7 < H(a, p, 7), 

 por hipótesis: 



«C*l* + l^X 2 ) + p(X¿^ + ¡xy 2 ) + 7(X^ + [xjs 2 ) = Xfobc + y$ -f Ztf) + 



+ \>>{X& + y$ -f Zft) < (X + p.)H(a, p, 7), = H(a, p, 7), 



Expresión cuyos primero y último miembros demuestran la convexidad. 



De la definición de la función H (a, p, 7) y de la proximidad de dos 

 cuerpos convexos con un punto interior común, se infiere que si H n y H 

 son las funciones correspondientes a los cuerpos convexos C^yC res- 

 pectivamente, se verifica 



|H„-H|<N(C n , C), [5] 



y por consiguiente, si lím N(C«, C) = 0, y por tanto lím C n = C, tam- 



n— *oo n— >-oo 



bien se verifica lím |H ra — H| = 0, ó sea que lím W n = H. 



n—yoa n — >-oo 



(*) En tal caso, el cuerpo C se reduce a un recinto plano. 



