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4. Simetría de Schwarz como límite de simetrías de Steiner 



Imaginemos dos planos w l5 to 2 , cuya arista p pase por un punto inte- 

 rior O de un cuerpo convexo C (*) de ángulo múltiplo irracional de tt, 

 verbi gracia, ir]/ 2 . Supongamos hecha sobre ^ la simetría de Steiner y 

 que se obtiene el cuerpo convexo C^ hágase la misma operación con Cj 

 respecto del plano w 2 para obtener C 2 , del cual, a su vez, haremos la si- 

 metría respecto de wj para tener C 3 , y así sucesivamente. Blaschke (Kreis 

 und kugel, págs. 86-120) ha demostrado que la sucesión así obtenida 



C()i Cj, Cg. "i C/z..., 



además de ser un conjunto cuyos elementos todos son convexos y de cur- 

 vatura continua, cumple entre otras condiciones la importante del paso al 

 límite, esto es 



lím C n = C . 



Donde C es de revolución, cuyo eje es/?. Tal sucesión indefinida de sime- 

 trías de Steiner equivale, pues, a la siguiente construcción de Schwarz. 



Córtese el Cuerpo C por un plano a perpendicular a /?, y haciendo 

 centro en el punto cp, construyase en el plano <r una circunferencia cuya 

 área sea equivalente a la del recinto de intersección C s. Hágase variar 

 continuamente el plano cr siempre perpendicular a la recta /?, y tendremos 

 el cuerpo C. 



En virtud del principio de Cavalieri, el volumen se conserva constan- 

 te. Schwarz demuestra que el área de la superficie del cuerpo C obteni- 

 do, es menor o igual que la del primitivo A c < A Co . Blaschke, en virtud 

 del teorema de Bieberbach (**), «Por la simetría de Steiner, el diámetro 

 de un cuerpo convexo no se agranda^, deduce fácilmente (llamando 

 D , D-l, ...., D n los diámetros correspondientes) que 



Do>D 1 >D 2 .,:>D„-.;., lím D„ =D; 



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y la siguiente relación, que es más importante para nuestro propósito. 



(*) Téngase presente que, de aquí en adelante, a! decir convexo, sobre- 

 entendemos también de curvatura continua, aunque muchos de los conceptos 

 son aplicables también a los que, siendo convexos, no cumplen la condición 

 de continuidad en la curvatura. 



(**) Über eine Extremaleigenschaft des kreises, Jahresberich 24 (1915). 

 Es una demostración elegante y muy sencilla. 



