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Siendo A , A x ... A n ... las áreas correspondientes de los cuerpos C , Q... 

 C n ... se verifica 



A >A 1 >A 2 ...>A n ... [1] 



y lím A C/2 = A lím C n = Ac , [2] 



o sea que el funcional (sucesión infinita de funciones) A , A l7 A 2 .... A n ... 

 es una función continua en el límite, o que converge uniformemente ha- 

 cia A c . 



Para demostrar tal propiedad se funda principalmente en una pequeña ge- 

 neralización del teorema Bolzano-Weierstrass: Todo conjunto acotado, 

 con infinitos puntos, tiene al menos un punto de acumulación, en 

 la forma siguiente: Un conjunto de infinitos cuerpos convexos, uni- 

 formemente acotado (gleichmássig beschránter (|*), permite siempre 

 elegir una sucesión C 1: C 2 .... Cn ... tal que 



lím C n = C. 



n— ><» 



Un procedimiento sencillo y elegante para hallar el cuerpo de volumen 

 dado y área mínima, consiste en repetir convenientemente la operación de 

 Schwarz con ejes que pasen por el origen de coordenadas interior al cuer- 

 po, a fin de obtener una figura con infinitos ejes de rotación concurrentes 

 en su centro, la cual es la esfera. 



5. Curvatura de Gauss 

 Después de Gauss se llama curvatura íntegra, total, absoluta, o sim- 

 plemente curvatura de una superficie en un punto, a la expresión , 



r \T'¡ 



donde r t y r 2 son los radios de curvatura de las secciones principales co- 

 rrespondientes a dicho punto. 



Se llama curvatura media de una superficie en un punto a la expre- 

 sión — -i ■ (**) . 



Ambas son positivas en las superficies convexas, y para nuestro obje- 

 to se consideran siempre funciones continuas. A fin de tener una defini- 



(*) Esto es, que todo el conjunto es interior a un cubo o esfera de arista 

 o radio dado, respectivamente. 



(**) La gran importancia de y 1 proviene de que son dos 



r^r 2 r x r 2 



invariantes absolutos de las dos primeras fórmulas diferenciales fundamenta- 

 les de la teoría de superficies. 



