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área fija, el máximo de la integral k=J'tfcurv ds tiene lugar para la 

 elipse. 



Aunque un poco laboriosamente, ha resuelto por completo esta cues- 

 tión (*), poco más o menos en la forma siguiente: 



De la definición de curvatura de una línea plana resulta 



í/A = 



xy 



x y 



(y'* + y*)- 



(x? 2 + y' 2 ) Tdt = fx'y" — x"y' dt = ÜDdt. [ 1 



-i 



Haciendo una sustitución lineal de determinante igual a la unidad (**), 

 resulta invariante D y, por consiguiente, A. Como también el área resulta 



un invariante, se considera este pro- 



n .. — ^b blema como de ixoperímetros en la 



geometría afín. 



Teorema auxiliar. — Dado un 

 arco AB de curva convexa, el seg- 

 mento mn comprendido entre la cur- 

 va y la cuerda AB que une los ex- 

 tremos del arco, no puede ser ne- 

 gativo; es decir, definida una fun- 

 ción /(8) continua hasta la segun- 

 da derivada en el intervalo — 1 < 6 < 1 , se verifica 



/(- 1) +/0)- 2/(0) <0, si /"(6)<0, 



correspondiéndose los signos iguales. 

 En efecto, 



¡o (6 - t)f"(t)dt = /(6) - 6/'(0) - /(O); 

 (basta hacer la integración), o sea 



ffl = /! (e - t)f'{t)dt + /(O) + e/(o), 



y, por tanto, 



/o) = yio - t)nodt + /(o) + /'(o), 



/(-!)=- lo _1 (l + t)f"{t)dt + /(O) - /'(O), 



(*) Math.-phys. klasse, 1916, Bd. LXVIII, Leipzig. 

 (**) Transformación afín. 



