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Si la línea G fuese tal que, dada una dirección cualquiera en su plano, 

 tuviese una recta de simetría (oblicua u ortogonal) con esta dirección, la 

 integral A no sufriría alteración ninguna por las simetrías de Steiner. La 

 elipse cumple tal condición (*) porque los puntos medios de un sistema de 

 cuerdas paralelas están en línea recta. 



Por tanto, en virtud de la [12], y teniendo presente que el área de 

 G no varía por la simetría de Steiner, resulta que si hay una línea L con- 

 vexa y de área dada, para la cual A adquiera un valor máximo, tal línea es 

 la elipse (**). 



La analogía de A con la integral que define la longitud de una línea, 

 induce a Blaschke a llamar a A longitud afín, y a dar una interpretación 

 geométrica, cuya primera idea corresponde a G. Pick (1914); la cual es 

 como sigue: 



Sea p , p ± , p 2 ....p n , po una sucesión de puntos sobre G, y en ellos 

 las cuerdas y tangentes correspondientes. Cada triángulo formado por dos 



(*) Y le es característica entre las líneas planas, cerradas, convexas, de 

 curvatura continua. 



(**) Esta conclusión de Balschke corresponde al siguiente razonamiento: 

 Sea G la línea dada, y E una elipse 



x = x + a. eos cp \ 

 y = b sen cp J 



de la misma área que Q. Si G tiene un eje de simetría, lo tomamos como eje 

 de las x, e igualando las áreas de ambas curvas, tendremos 



ab(v — sen cp eos cp) = 2) y(s)x'(s)ds. [2] 



Por otra parte, J (y"x' — x"y') 3 ds =f(s) debe ser un máximo; luego si 



u" x" 

 existe, debe verificarse y"x' — x"y' = 0, —,- = — r, que integrada dos veces 



nos dice que 



y = ax + b; [3] 



sustituyendo esta expresión en la [2], resulta 



ab(a — sen cp eos cp) = 2j (axx' +' bx')ds = ax 2 (s) + 2bx(s). [4] 



Además, de las [3] y [2] resulta ab{y — sen cp cosco) = — j y(s)y'(s)ds = , 



que unida a la [4] nos dice que y 2 (s) = ax % (s) + 2bx(s) [5]; ecuación de una 

 cónica que pasa por el origen de coordenadas; mas como es cerrada, debe 

 ser una elipse. 



