— 211 — 



tangentes consecutivas y la cuerda que une los puntos de contacto, tiene 

 una área A s , y para todos los triángulos se tiene 



S = 25fA¡. 



i 



Aumentando, según una ley simple, indefinidamente los puntos sobre 

 la curva, el valor de S no crece, y el límite inferior de tales sumas recibe 

 el nombre de longitud afín de la curva. 



Veamos, finalmente, que existe el máximo. En virtud de la fórmu- 

 la [12], basta dar la demostración para las líneas convexas dichas que tie- 

 nen un eje de simetría, pues si no lo tuvieren, aplicándoles una vez la si- 

 metría de Steiner, estamos en el caso en que gozan de tal propiedad. He 

 aquí la demostración de Blaschke, siguiendo el método de Weierstrass 

 sobre la función e. 



Sea Q la línea con un eje de simetría que tomamos como eje x 



¡x==x(\\ x(X) = .r(X + A)j 



\y = yV), ¿/W = ^ + a)í 



siendo 



y"x' — x"y' = 1 . [2] 



A los valores X = 0, X = A : 2 corresponden los valores mínimo y má- 

 ximo de x, respectivamente. Consideremos un valor intermedio de X, 

 y construyamos una cónica C bitangente a G en los puntos simétricos 

 [x(X), #(X)]; [jr(/), y{ — X)] de tal modo que el área A comprendida entre 

 x = x{k) y la línea Q sea equivalente a la comprendida entre x = x(k) y 

 la cónica C. De este modo queda determinada una cónica única, porque, 

 considerando el haz de cónicas bitangentes a G en los puntos dichos, las 

 áreas consideradas van creciendo continuamente desde cero a un valor 

 mayor que A, y, por tanto, hay una posición correspondiente a la exis- 

 tencia de la cónica que queríamos determinar. 



Sea tal cónica la elipse 



x — x -f- a eos «p, 



y = b sen <p. 



Por pasar por el punto [-r(X), #(X)], se verifica y(X) = b sen «p; y por ser 

 tangente a la G resulta 



-r'( x ) = _ asen ? _ 



¿/'(X) b eos » 



