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En virtud de la bitangencia de G y C, coinciden las direcciones de las 

 tangentes, y se obtiene 



x' y' 



y en virtud de la [7], 



a sen <p , b eos <f 



\>-x = — — , v-y = — - 



lab lab 



que sustituida en la [9], nos da 



de _ ¡xs-f 2 _ 1 | Q¿ + 2)Q¿-1) 2 

 dk 3m 3p- 



de donde , 



do 



» !l ' M 



/ 



Ahora bien: para X = A : 2, a = A : 2, siendo A el valor correspon- 

 diente a una vuelta completa; por consiguiente, 



te- 1 )*^-^ ' [n] 



que demuestra el teorema. 



Para la elipse, A = 2«f ab, y como su área es nab^ A, resulta la 

 fórmula importante 8u 2 A — A 3 = 0, y para otra cualquiera línea plana, 

 cerrada y convexa 8^ 2 A — A 3 > 0. 



El signo igual sólo tiene lugar para la elipse, porque para ello es pre- 

 ciso que — — = 1 , ¡j = 1 , y, por tanto, existe entre G y C un contacto de 

 d a 



orden superior al primero y, por consiguiente, la línea G coincide con C. 



§ IV 



PROBLEMA DEL MÁXIMO EN EL ESPACIO 



Supuesta la representación paramétrica de una superficie convexa de 

 curvatura continua en coordenadas curvilíneas 



x = x(u, ü), y = y(u, v), z = z{u, »), 

 sean 



ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 = Edu 2 + ZFdudv + Gdv 2 \ .^ 

 - (dxdX + dydY + dzdZ) = Ddu* + ZD'dudo + D"dv 2 J 



