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que lo son tanto la curvatura de Gauss como el área de la superficie. 

 Como se trata de cuerpos convexos, se verifica 



LN - M 2 > 0. 



Esto supuesto, ¿cuál es la naturaleza de la superficie convexa 

 de curvatura continua y volumen fijo, para la cual \ adquiere el 

 valor máximo? 



Blaschke, por procedimiento análogo al indicado para la misma cues- 

 tión en el plano, y con la natural complicación [que lleva consigo, por 

 existir dos variables independientes, logra demostrar que, aplicada la si- 

 metría de Steiner respecto de un plano a la superficie S dada, la expre- 

 sión A no decrece nunca, aumenta cuando la superficie no tiene un plano 

 de simetría (oblicua u ortogonal) paralelo al elegido para hacer la sime- 

 tría, y permanece inalterable cuando tal plano de simetría existe. 



Llega, pues, laboriosamente a que, si existe un máximo, tal superficie 

 ha de tener infinitos planos de simetría pasando por un punto, o sea que 

 en cualquier dirección los puntos medios de un sistema de cuerdas para- . 

 lelas deben estar en un plano, es decir, que la superficie debe ser un elip- 

 soide conforme al siguiente 



Teorema . — Si existe una superficie convexa de curvatura continua 

 y volumen dado, para la cual \ adquiera el valor máximo, es un 

 elipsoide, puesto que si no lo es, aplicándole la simetría de Steiner, no 

 variará el volumen, y dicha integral crecerá. 



Tanto por ser un poco laborioso el procedimiento que emplea, como 

 por haber ya expuesto su correspondiente en la cuestión plana, seguire- 

 mos otro camino que nos lleve a la existencia del máximo, al mismo tiem- 

 po que demuestra el teorema anterior de Blaschke. 



Para ello recurrimos principalmente a una sucesión indefinida de sime- 

 trías de Steiner, a la llamada función H(a, (3, y) (*) y a la obra de Min- 

 kowski (**) que en esta materia bien puede calificarse de manantial de 

 ideas fecundas y originales. Demostramos, en primer término, la cuestión, 

 pasando de un cuerpo cualquiera convexo de curvatura continua a uno de 

 revolución; con lo cual, queda resuelta la cuestión, ya que el paso de la 

 superficie de revolución a un elipsoide, se. reduce al problema en el plano. 



Aplicando alternativa e indefinidamente a una superficie S convexa 

 de curvatura continua, la simetría de Steiner, según dos planos cuya aris- 



(*) § II [3]. 



(**) Opera citata. Volumen und Oberflache. 



