— 217 — 



como origen de coordenadas, y suponemos proyectado desde él un ele- 

 mento cualquiera diferencial de área sobre la superficie, resulta que la 

 función H (a, ¡3, 7) no es otra cosa que la altura de dicha pirámide de base 

 infinitesimal. Por otra parte, de la misma definición de curvatura de 

 Gauss (§ II, 5), siendo da y do> los elementos diferenciales de área en la 

 superficie y esfera respectivamente, se sabe que 



da = (RT - S 2 )¿< 



y, por consiguiente, 



dV = 4-Hífr = 4"H(RT - S 2 )flfc>, 

 o o 



1 



V = 4-/H(RT — S a )úTw . [1] 



Consideremos ahora la sucesión infinita S , S 1? S 2 , ..., S n ... unifor- 

 memente acotada (puesto que está contenida en una esfera de radio finito 

 cuyo centro sea el origen de coordenadas interior al cuerpo, y cuyo diá- 

 metro sea, por ejemplo, el diámetro del cuerpo dado): en virtud de (§ II 4) 

 es un conjunto tal, que existe una sucesión uniformemente convergente 

 hacia un cuerpo convexo de curvatura continua: este cuerpo límite, como 

 hemos visto en el párrafo II, 4 (én el espacio es la misma cuestión), es 

 precisamente el de revolución que se obtiene directamente aplicando la 

 simetría de Schwarz. 



Si, pues, la sucesión de cuerpos 



Co> Cj, L/g..., C/j... 



a los cuales corresponde la de superficies 



Soi Si > Og... > o«... 

 converge uniformemente al cuerpo límite; 



lím C/i = C 



de modo que también 



lím S/z = S; 



en virtud de lo dicho en el (§ II, 2 y 3) acerca de la proximidad de cuer- 

 pos con un punto interior común, tendremos las siguientes relaciones: 



N(C , C)>N(C l5 C)>N(C 2 , C)..-..>N(C„, C)... 



HmN(C„, C) = 0, [2] 



n—^-oo 



