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continuidad, quedando, por consiguiente, demostrada la segunda parte de 

 nuestro teorema; es decir, 



As = lím A/i- 



n—ycc 



Visto que aplicando indefinidamente, en la forma dicha, la simetría de 

 Steiner, y pasando al límite (lo cual equivale a aplicar directamente la 

 simetria de Schwarz), se obtiene un cuerpo de revolución convexo y de 

 curvatura continua, del mismo volumen, menor área y mayor valor A, res- 

 ta demostrar que entre tales cuerpos de revolución de volumen fijo, el 

 elipsoide goza de la propiedad de que A adquiere el valor máximo. 



Por tratarse de una superficie de revolución, el problema no es con 

 dos variables independientes, sino con una sola, como ocurría con la mis- 

 ma cuestión en el plano al tratar de la elipse (§ III); porque se reduce a 

 encontrar la curva meridiana de la superficie que cumpla tal condición de 

 máximo. Se reduce, pues, en realidad, a una repetición del teorema de 

 Blaschke acerca de la elipse en dicho párrafo, y, por consiguiente, el elip- 

 soide es la superficie convexa de curvatura continua y volumen 

 dado, para la cual la integral de superficie A adquiere el valor má- 

 ximo. 



Calculando para el elipsoide el valor de J \/LN — W-dudv, se halla 

 fácilmente 



A = 4^1/ c, 

 y como el valor de su volumen es 



resulta de ambas 



luego 



V=— 7T¿> 2 C, 



o 



A 2 = 16tt 2 6 2 c, 

 12uV= ÍQtiWc; 



12* V — A 2 = 



para el elipsoide; y como para otro cuerpo cualquiera A es menor, resul- 

 ta la importante expresión 



12irV- A 2 >0 



para cualquier cuerpo convexo de curvatura continua, teniendo lugar el 

 signo igual para los elipsoides. 



