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APÉNDICE 



Antes de hallar la solución completa expuesta, habíamos encontrado 

 la solución del problema en el paso al límite de la simetría de Steiner, 

 para una clase especial de superficies que Monge llamó Modanate (*) 

 caracterizadas por tener (a semejanza de las superficies de revolución) un 

 sistema de líneas de curvatura en planos paralelos. 



Sin detenernos en desarrollar el problema, indicaremos ligeramente la 

 idea que habíamos seguido en la solución. Considérese al efecto n sufi- 

 cientemente grande para obtener en la serie indefinida de simetrías de 

 Steiner, una superficie S n que se aproxime cuanto queramos a la de re- 

 volución S, que es su límite. Por tanto, los radios de curvatura de las sec- 

 ciones principales de la superficie S n serán r x + e x ; r 2 ± £ 2 > siendo e x y ® 2 

 tan pequeños como se quiera, y, por tanto, también será tan pequeña como 

 queramos la diferencia de las curvaturas de S n y de S. Mas observemos 

 que para la validez de este razonamiento, es preciso que en la sucesión 

 infinita de simetrías de Steiner, las líneas de curvatura se cambien en 

 líneas de curvatura, que en el límite sean por consiguiente las líneas de 

 curvatura de la superficie de revolución. 



Esto se verifica en las superficies que tengan un sistema de líneas de 

 curvatura en planos paralelos; pues tomando como arista de los planos 

 sobre los que se hacen las simetrías de Steiner, una recta perpendicular a 

 dichos planos paralelos, las líneas correspondientes de curvatura tienen 

 evidentemente como límite, las circunferencias de la construcción de 

 Schwarz; por tanto, el otro sistema de líneas de curvatura que son per- 

 pendiculares a las del primero, tendrán como límite el segundo sistema 

 de las líneas de curvatura de la superficie límite S. Es, pues, lícito en las 

 superficies Modanate el paso al límite en la sucesión de funciones. 



Ao < Ai < A2- • • < An ; 



es decir, que se verifica 



As = lím An. 



(*) Su estudio completo puede verse en Bianchi, Geom. diferent., edi- 

 ción alemana, pág. 145; italiana, 176. 



