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pectividad, y al elemento doble il le llamaremos elemento límite. Con 

 lo cual pueden establecerse las proposiciones siguientes: 



a) Todas las prospectividades contenidas en una figura fundamental 

 (serie rectilínea, haz de rectas o de planos) con el mismo elemento límite, 

 forman grupo. 



b) También forman un grupo todas las proyectividades contenidas en 

 una figura fundamental con la misma involución unida. 



3. En las figuras homográficas o colineales de segunda categoría 

 que, para precisar, nos referiremos a las figuras planas, vamos a conside- 

 rar de un modo especial las homologías y las que tienen doble un punto O 

 y una recta doble e que no pasa por este punto, siendo elíptica la involu- 

 ción unida a la proyectividad contenida en aquella recta. 



Para evitar perífrasis, llamaremos, con el profesor Rey Pastor, trasla- 

 ciones proyectiuas a las homologías cuyo centro está en el eje; dilata- 

 ciones proyectiuas, a las homologías con el centro exterior al eje, y tor- 

 siones proyectivas de centro O y eje e, a las colineaciones últimamente 

 citadas, y entre éstas las que tienen cónicas analagmáticas, es decir, inva- 

 riantes, las designaremos con el nombre de rotaciones o giros proyecti- 

 uos, y en ellas, evidentemente, toda cónica invariante goza de la propie- 

 dad de que respecto de ella son polares el centro O y el eje e de la tor- 

 sión, y, además, la involución unida a la proyectividad situada en e está 

 constituida por pares de puntos conjugados respecto de la cónica. 



Como el producto de dos colineaciones con una figura doble es otra 

 colineación con esta misma figura doble, se deducen las propiedades si- 

 guientes, bien conocidas: 



1 .° Todas las homologías con el mismo centro y con el mismo eje for- 

 man un grupo. 



2.° Todas las traslaciones con el mismo eje o con el mismo centro for- 

 man un grupo. 



3.° Todas las homologías con el mismo centro o con el mismo eje 

 forman grupo. Pues el producto de dos homologías respecto del mismo 

 eje, por ejemplo, es otra homología con este eje y un centro que está en 

 línea recta con los de las homologías factores. 



4.° Como el producto de dos homologías respecto del mismo eje y 

 centros distintos puede ser una traslación, se deduce que todas las dilata- 

 ciones, más todas las traslaciones respecto del mismo eje o centro, forman 

 un grupo. 



5.° El producto de dos torsiones con el mismo eje y el mismo centro 

 es otra torsión, a no ser que sean inversas las dos proyectividades conte- 

 nidas en el eje, en cuyo caso es una dilatación por ser la identidad el pro- 



