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ducto de estas dos proyectividades; luego todas las dilataciones y torsio- 

 nes con el mismo centro, el mismo eje y la misma involución, unida a la 

 proyectividad contenida en esta recta, forman un grupo. 



4. En las figuras en el espacio designaremos también con los nombres 

 de traslaciones proyectivas o dilataciones proyectivas a las homologías 

 que tienen su centro en el plano central o exterior a este plano. 



Entre las demás colineaciones existen las que tienen dobles dos series 

 rectilíneas cuyas bases se cruzan, las cuales son también aristas de haces 

 de planos dobles; es decir, colineaciones con dos ejes que se cruzan, los 

 cuales pueden en algún caso confundirse en uno. Todas las colineaciones 

 con dos ejes que se cruzan, o con un solo eje, forman evidentemente un 

 grupo. También merecen especial mención las colineaciones que tienen 

 una serie doble r cuya base es arista de una proyectividad de planos sin 

 planos dobles reales, y otra recta doble 5 que se cruza con la r y que, por 

 tanto, es arista de un haz de planos dobles y base de una proyectividad 

 sin puntos dobles. 



Por generalización llamaremos torsiones proyectivas a estas colinea- 

 ciones, siendo la recta r el eje principal y la recta 5 el eje secundario. To- 

 das las torsiones con los mismos ejes r y 5 y la misma involución unida a la 

 proyectividad contenida en el último, más las colineaciones con los dos ejes 

 r y s, forman un grupo, toda vez que cuando las proyectividades conteni- 

 das en el eje secundario sean inversas, y su producto sea, por tanto, la 

 identidad, el producto de las dos torsiones es una colineación con dos ejes. 



Cuando exista una cuádrica invariante respecto de una torsión, es cla- 

 ro los dos ejes son polares respecto de ella y que la involución unida 

 a la proyectividad contenida en el eje secundario, está constituida por pa- 

 res de puntos conjugados respecto de la misma. En este caso llamaremos 

 rotación o giro proyectivo a la colineación. 



5. Para establecer las relaciones métrico-proyectivas es preciso fijar 

 el concepto fundamental de magnitud proyectiva, teniendo en cuenta que 

 este concepto puede aplicarse a todo conjunto entre cuyos elementos cons- 

 titutivos se defina la igualdad y la desigualdad, debiendo cumplir esta de- 

 finición con las tres propiedades esenciales de identidad, reciprocidad y 

 transitividad, esquemáticamente representadas las relaciones: 1 . a , a = a; 

 2. a , si a = b, es b = a, y 3. a , si a = b y b == c, es a — c. 



Dentro de este concepto de magnitud está el concepto de segmento y 

 de ángulo rectilíneo o diedro, conceptos que se reducen uno a otro, ya 

 mediante la consideración de la Geometría abstracta o dentro del terreno 

 elemental, por medio de proyecciones o secciones. 



Es claro que las relaciones métrico-proyectivas dependen de la defini- 



