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cimiento de tres pares de puntos homólogos, quedará determinada cuando 

 conozcamos el par de puntos homólogos A, A x , y, por tanto, se obtendrán 

 todas las colineaciones posibles que satisfacen a las condiciones impuestas, 

 haciendo corresponder al punto A todos los del plano de la figura homolo- 

 ga; es decir, que el citado conjunto de colineaciones es un sistema vecto- 

 rial, y así se obtiene una generalización bastante amplia del concepto de 

 vector. 



Según esto, el conjunto de todas las homologías con el mismo centro O 

 y el mismo eje e, es un sistema escalar, puesto que se obtienen todas ellas 

 haciendo corresponder a un punto A todos los de la recta OA que le unen 

 con el centro. 



Análogamente todas las traslaciones con el mismo eje o con el mismo 

 centro, así como todas las torsiones con el mismo centro, el mismo eje y 

 la misma involución unida a la proyectividad contenida en esta recta, for- 

 man un sistema vectorial. 



En el espacio, las homologías con el mismo centro y el mismo plano 

 central forman un sistema escalar, y las traslaciones con el mismo plano 

 central o con el mismo centro forman un sistema vectorial, así como tam- 

 bién todas las torsiones con los mismos ejes y la misma involución unida a 

 la proyectividad contenida en el eje secundario. 



7. Lo que acaba de decirse indica diversas generalizaciones del con- 

 cepto de vector, de las cuales la más natural es la que considera como tal 

 una traslación proyectiva. 



Para evitar perífrasis, llamaremos en lo sucesivo al eje, plano central 

 común w del sistema de vectores que se considere, recta o plano funda- 

 mental, y como, una vez fijado este elemento, la traslación queda deter- 

 minada por el conocimiento de un par de puntos homólogos A y Ai dados 

 en ese orden, de aquí que designemos al vector o traslación por ÁA l5 y 



la operación inversa, o sea el vector contrario, por AjA. 



Dos vectores se llaman equivalentes o iguales cuando definen una mis- 

 ma traslación, de modo que si representamos una traslación de centro O y 

 eje o plano central w por la relación wABawAuBj, esta relación equivale a 

 ésta: AAi = BB X , y ambas prueban que las rectas AB y A^ se cortan 



en un punto P del eje o plano central w, de donde se deduce que los pun- 

 tos P y O son diagonales del cuadrivértice completo ABA^, y, por 

 tanto, que los puntos A y B ± y los A x y B son conjugados en la homología 

 involutiva de eje o plano central w, y cuyo centro Q es el tercer punto 

 diagonal del citado cuadrivértice; es decir, que de la relación wABawAíBí 

 se deduce que ww . ABi . A X B es una homología involutiva, y recíproca- 



