— 261 — 



mente, pudiéndose, por tanto, establecer también la relación wAAía^BBí, 

 relaciones que no son más que una generalización de las análogas estable- 

 cidas en las prospectividades y que pueden también expresarse del modo 

 siguiente: 



1 . a Si AA X == BBj, tow . AB X . BA X es un sistema en involución, y re- 

 cíprocamente. 



2. a Si AAj == BB 1? es AB = A^. 



De lo dicho se desprende que se puede construir siempre un vector 

 igual a otro dado y cuyo origen sea un punto cualquiera exterior al eje o 

 plano fundamental. 



8. Aplicar un vector a un punto M, es obtener el punto M' homólogo 

 del M en la traslación que define el vector dado, y aplicar un vector a 

 otro es obtener el vector determinado por los resultados de aplicar el pri- 

 mer vector al origen y extremo del segundo. 



Si aplicamos el vector PQ al AA l7 se obtiene el vector A'A/, de tal 



modo que las rectas AA' y AjAj' concurren en el centro R del primer vector 

 y las AAn y A'A/ pasan por el centro S del segundo vector, y, por tanto, 

 se verificará la igualdad AAí = A'A/; es decir, que 



a) El transformado de un vector por otro vector es otro igual al pri- 

 mero, o, dicho de otro modo, una traslación se transforma en sí misma por 

 por otra traslación con el mismo eje o plano central, por tanto, 



b) Dos traslaciones del mismo sistema son permutables, y, por consi- 

 guiente, todas las traslaciones respecto de un mismo eje o plano central 

 forman un grupo abeliano. 



9. a) Dos traslaciones V y Vi del mismo eje o plano central w y el 

 mismo centro O t , se transforman una en otra por infinitas dilataciones de 

 eje o plano central w, estando determinada cada una por su centro O. 

 Pues tomando O A = V y OA t = Vi, como los puntos A y A x , extre- 

 mos de los vectores que definen las traslaciones dadas, están en la recta 

 OOi, estos vectores son homólogos en la dilatación determinada por el 

 centro O y eje o plano central w, y el par de puntos homólogos A-A x . 



b) Dadas dos traslaciones V y Vi del mismo eje w y distintos cen- 

 tros OyOj, fijado un centro O' exterior a w y una involución I sobre 

 esta recta, hay una sola torsión T en el plano O'w, que transforma V 

 en Vj. Pues tomando O' A = V y 0'h x = V l5 estos vectores son homólo- 

 gos en la torsión definida por el centro O', el eje w, la involución I y el 

 par de puntos homólogos A-A^ 



10. Hemos dicho (3) que cuando en una torsión O w I exista una có- 



Rev. Acad. de Ciencias.— XVI.— Diciembre, 1917. 17 



