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nica » invariante, la torsión se llama rotación o giro proyectivo, y es cla- 

 ro que, respecto de esta cónica, I es una involución de puntos conjugados 

 y el centro O de la torsión es el polo del eje w. 



Si A y A x son dos puntos homólogos situados en la cónica *, y A' y A\ 

 son los segundos puntos de encuentro de esta cónica con las rectas OA 

 y OA l5 el cuadrivértice completo inscrito AA'AjA'i prueba que los puntos 

 P y Q de intersección de los pares de lados opuestos AAj-A'A^ y 

 AA'-AjÁ'-l son conjugados en I y están armónicamente separados por los 

 puntos M y N de intersección de la recta w con los otros dos lados 

 OA y OAjl del cuadrivértice. 



Recíprocamente, si el punto Q, armónicamente separado del P de inter- 

 sección del eje w de la torsión con la recta A A x que une dos puntos homó- 

 logos por los M y N de intersección del mismo eje w con las rectas O A y 

 OA x , es conjugado con P en la involución I, la cónica definida por esta 

 involución, el polo O de su base w y el punto A pasa por el punto A x y 

 es invariante en la torsión considerada. Pues si A 2 es el punto de inter- 

 sección de esta cónica con la recta OA l5 en el giro determinado por esta 

 cónica, la recta AA 2 debe cortar a la recta w en un punto P', tal que su 

 conjugado Q' en la involución I está armónicamente separado del P r por 

 los M. y N, y como en la involución elíptica I existe un solo par que cum- 

 ple esta condición, los puntos P' y Q' se confunden con los P y Q, y, por 

 tanto, también coinciden los A x y A 2 . 



Si B y B x son otros dos puntos homólogos en la torsión, las rectas AA X 

 y BB X concurren en el mismo punto P del eje w a causa de la perspecti- 

 vidad de las dos series homologas de bases OA y OA^ de donde pode- 

 mos concluir: 



a) En un giro, toda cónica respecto de la que la involución I está 

 formada por pares de puntos conjugados respecto de ella, siendo el polo 

 de la base w el centro O del giro, es invariante. 



Y como las colineaciones con una cónica invariante forman un grupo, 

 se deduce: 



b) Todos los giros con el mismo centro, el mismo eje y la misma in- 

 volución I, forman un grupo; y los extremos A 1? A 2 , A 3 ..., de los vecto- 

 es transformados de uno dado OA están en una cónica que contiene la 



involución I, siendo el polo de la base w el centro O común de todos los 

 giros. 



Si dos puntos A y A l5 homólogos en el giro, están en línea recta con 

 O, la torsión se convierte en dilatación, la cual, teniendo cónica invarian- 

 te, es involutiva. 



