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1 1 . Sean T y T 1 dos torsiones del mismo cento O y la misma involu- 

 ción I; tomando como triángulo de referencia el que tiene por vértice el O, 

 y dos puntos conjugados en la involución I, las ecuaciones qtie las repre- 

 sentan son 



x' = ax + by | x % = a x x x + b^y x 

 y' = ay — bh 2 x J y 2 = a 1i y 1 — b^x-^ 



Si A (x x y) y A' (x'y') son dos puntos homólogos en la torsión T, y 

 A' y A" [x" y") son homólogos en la torsión T, los puntos A y A" lo serán 

 en la torsión TT' producto de las dos dadas, representado este producto 

 por las ecuaciones 



x" = {a x a — bb x hF)x + {a^b + ¿>i<z)# , 

 y" = (a x a — bb x h 2 )y — {a x b + b x a)h % x, 



que represnta otra torsión con los mismos elementos fundamentales. 



Si A t es homólogo de A en T', y A 2 es homólogo de A t en T, las rela- 

 ciones que enlazan las coordenadas de los puntos A 2 y A son las anterior- 

 mente halladas, de donde se deduce: 



a) El producto de dos torsiones respecto del mismo centro y la mis- 

 ma involución es conmutativo, y es una torsión con los mismos elementos 

 fundamentales, o una dilatación; esto último sucede cuando se verifica la 

 condición a x b + b ± a = 0, como lo demuestran las ecuaciones últimas. 



b) Las dilataciones y torsiones respecto del mismo centro y la mis- 

 mo involución forman un grupo abeliano. 



c) Una torsión se transforma en sí misma pof otra torsión o dilata- 

 ción que tenga los mismos elementos fundamentales que la dada. 



Si, pues, A-Ai y B-B-t son dos pares de puntos homólogos de una tor- 

 sión de centro O e involución fundamental I, y convenimos en expresar 

 esto por la relación OIABaOIAiBí, de la última propiedad se deduce la 

 relación OIAAíaOIBB;!., que constituye una generalización de las rela- 

 ciones análogas que existen en las figuras de primera categoría. 



12. Acabamos de ver que, dada en una recta w una involución I y 

 un centro O exterior a esta recta, existe una sola torsión que trasforma 

 una traslación Vi de eje w y centro Q 1 en otra V 2 del mismo eje y cen- 

 tro 2 . 



Cuando esta torsión es un giro, se dice que las dos traslaciones o sus 

 vectores representantes tienen módulos o valores absolutos iguales. 

 El módulo de un vector O A lo designaremos por (OAL 



De lo dicho en el párrafo 10 se deduce 



a) Los extremos de A x Bi Ci ... de todos los vectores de origen O 



