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que tienen módulos iguales, están en una cónica que tiene la involución I 

 formada por puntos conjugados respecto de ella, siendo la base w la polar 

 del centro O del giro. 



b) Si es |OA| = |OB| y |OB| = |OC|, es también ¡OA| = |OC|. 

 Y como, evidentemente, se verifica para los módulos de los vectores la 

 propiedad idéntica y la recíproca, se deduce que estos módulos constitu- 

 yen un sistema de magnitudes. 



c) Si se verifican las igualdades OA = O'A', OB = O'B' y 



|OA| = |OB|, se verifica también |0'A'| = |0'B'|. 



Pues aplicando a la torsión OIAB la traslación 00', se obtiene otra 



torsión O'IA'B', y como las rectas O'A', O'B' y A'B' cortan respectiva- 

 mente a las OA, OB y AB en puntos de la recta w, se deduce que si la 

 primera torsión es un giro, también lo es la segunda. La definición de va- 

 lor absoluto de un vector es, pues, independiente del centro de giro 

 elegido. 



d) La igualdad de los módulos de dos vectores es invariante en todas 

 las colineaciones que dejan invariante la involución fundamental I; es de- 

 cir, en las torsiones, dilataciones y traslaciones; pero el valor absoluto o 

 módulo de un vector es invariante sólo en las traslaciones, giros e invo- 

 luciones. 



Como sobre una recta cualquiera distinta de la fundamental w,ya 

 partir de uno cualquiera de sus puntos, puede construirse un vector del 

 mismo módulo que otro cualquiera dado, las relaciones existentes entre 

 los módulos de varios vectores de un sistema se reducen a relaciones en- 

 tre segmentos proyectivos sobre una recta. 



Si convenimos en llamar movimiento a toda colineación que deja inva- 

 riable la involución I fundamental, así como al módulo de cualquier vec- 

 tor, de lo dicho anteriormente se deduce: 



e) Los movimientos planos son las traslaciones, giros e involuciones 

 y los productos de estas operaciones. 



f) Los movimientos planos forman un grupo. 



Si en un movimiento M son homólogos los puntos A y A 1? en el pro- 

 ducto de esta colinación por la traslación T = AjA es doble el punto A y, 



por tanto, el resultado es un giro G cuyo centro es este punto; es decir, 

 que se verifica la igualdad MT = Q, de donde MTT' = M = GT, sien- 

 do T' la traslación contraria a T; luego 



g) Todo movimiento plano es el producto de la traslación determina- 

 da por dos puntos homólogos por un giro en torno de este punto. 



Además, si OIAA x es una torsión T, y OIAA' es un giro G, la coli- 



