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neación OIA'Aj es una dilatación D, y, por tanto, se verifica que 

 T = GD. 



h) Toda torsión es el producto de un giro por una dilatación. 



II. — Operaciones con vectores 



13. Siendo el concepto de vector una generalización del concepto de 

 segmento, vamos a generalizar a estos nuevos entes las operaciones es- 

 tablecidas para los citados segmentos. 



En cuanto a la suma, basta extender a los vectores las igualdades 



OA + OB = OC, si OB = AC que definen la suma de segmentos 

 rectilíneos en la geometría euclídea, y que, generalizadas, conducía a las 

 (OA) 4- (OB) = (OC), si (OB) = (AC), que permiten definir la suma de 

 dos segmentos proyectivos. 



Definiremos, pues, la suma de dos vectores por las igualdades 



OA + OB = OC si OB = AC. 



La última igualdad prueba [7] que si w es la base de la involución fun- 

 damenta I, ww . AB . OC es un sistema involutivo de eje w en el cual 

 pueden permutarse B y A; y si B y C coinciden, también coinciden B y O; 

 es decir, 



a) La suma de dos vectores es conmutativa, y el módulo de la ope- 

 ración es el vector nulo OO, o sea la identidad. 



También puede definirse la suma de dos vectores, OA y OB, llevando 



el segundo a continuación del primero, es decir, aplicando al extremo A 

 del primero la traslación representada por el segundo, y el punto C obte- 

 nido es el extremo del vector suma de los propuestos. 



La operación progresiva OA + OB -j- OC + ... tiene el significado 



siguiente: se suman los dos primeros, al resultado se suma el tercero, al 

 resultado se suma el cuarto, etc. 



Si la traslación OB transforma A en B' y la OC transforma B' en C\ 



se verifica, por definición, la igualdad 



[OA + OB] -f OC = OB' + B'C = OC'. 



Pero 



OB -t- OC = AB' + B'C = AC; 



luego también es 



OA + [OB + 0_C] = OA + AC = OC', 



