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propiedad que, junto con la conmutativa de dos sumandos, demuestra: 

 b) La suma de varios vectores es conmutativa y asociativa. 



14. Restar de un vector OC otro OB es hallar un tercero OA que, 



sumado al segundo, dé por resultado el primero., y se representa por 

 la igualdad OC — OB = O A, la cual es, por tanto, equivalente a la 



OB + OA = OC, o a la OA = BC. 



Cuando la suma de dos vectores es nula, como el punto C se confunde 

 con el O, se deduce que O A = BO, y, por tanto, que el producto de las 



dos traslaciones que representan aquellos vectores es la identidad, es 

 decir, que los dos citados vectores son contrarios u opuestos [7], 

 y WD) . 00 . AB es una involución, y, por tanto, 



a) Los extremos de dos vectores contrarios son conjugados en el 

 sistema en involución de eje w y centro O. 



Si OB' es el vector contrario del OB, se verifica evidentemente la 



igualdad OC + OB' = OB + OB' 4- OA = OA , que manifiesta que, 



para obtener la diferencia entre dos vectores , basta sumar al minuendo 

 el vector contrario del sustraendo. 



15. Dado el vector AqAj, por adiciones sucesivas obtenemos las 

 igualdades A A 2 = AqAj + A A X , A A 3 = A A 2 + AqAí,..., y como todos 

 los puntos A Ai A 2 ... están en línea recta, se deduce: 



a) La sucesión A A x A 2 ... es, precisamente, Ja red armónica 

 (A k x íi), siendo íi el punto 'de intersección de las rectas A A t y w; y, 

 análogamente, los puntos A— x , A_ 2 , ... son los extremos de los vectores 

 opuestos. 



b) Pueden escribirse legítimamente las igualdades A A« =/zA A 1 , 

 AmAn = A A n — A A OT = (n — m)A A 1 , las cuales son válidas para to- 

 dos los valores enteros positivos o negativos de n. 



Considerando la primera igualdad equivalente a la AqAj = — A A«, 



— *■ n --> 



se deduce que el producto de un vector por un número racional se con- 

 funde con el producto por este número de un segmento proyectivo. Por 

 tanto, el producto de un número real por un vector queda reducido al 

 producto de un número real por un segmento proyectivo, y de aquí que 



c) El producto de un vector por un número real es otro vector del 

 mismo centro y eje, y recíprocamente; dados dos vectores del mismo cen- 

 tro y eje, uno cualquiera de ellos es el producto del otro por un número 

 real. 



