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16. Si A — A x y B — B t son dos pares de puntos homólogos de una 

 torsión de centro O e involución fundamental I, a los vectores OA y OB 



corresponden los O A, y OB 1; y se verifica la relación OIAB = OIA^; 



por tanto, de la igualdad OA = OB se deduce la OA x = OB l5 toda vez 



que la primera igualdad expresa que coinciden los dos puntos A y B, y 

 entonces también deben coincidir los A t y B 1 . 



Además, la igualdad OA + OB = OC manifiesta que los pares de 



puntos A — B y O — C están armónicamente separados por el eje w de la 

 torsión y por el punto P de intersección de las rectas AB y OC; luego 

 también son figuras armónicas las wPjA-lBí y ojPjOCí, siendo P, y C, los 

 homólogos de P y C en la torsión considerada, y, por tanto, se verifica 

 la igualdad OA x -f OB x = OC x . Luego en una torsión, a un sistema de 



vectores con el mismo eje de la torsión, corresponde otro sistema de vec- 

 tores con el mismo eje, de tal modo, que en ellos existe correspondencia 

 en la igualdad y en la suma. Por tanto, debe decirse que existe propor- 

 cionalidad entre estos dos sistemas de vectores, y será lógico escribir la 

 igualdad 



OA OB 



OA x = OB x ' 



Ahora bien: si la torsión es una dilatación, los puntos A y A l5 así 

 como los B y B l5 están en línea recta con O, y si A' y A\ son los puntos 

 homólogos de los A y A x en el giro determinado por las dos rectas homo- 

 logas OA y OB, también son homólogos en la dilatación los pares de pun- 

 tos A' y A'j, y en el sistema de segmentos proyectivos cuyo punto límite 

 es el de intersección del eje w de la dilatación con la recta OB, se verifi- 

 ca la relación 



(OA') (OB) 

 (OA'!) (OB,)' ; 



Y como se verifican las igualdades (O A') = IOA|, (OA^) — lOAil, 

 (OB) = ¡OB| y (OBi) = |OB ± |, entre los módulos de los cuatro vectores 

 considerados, existe la relación 



|OA| 10B| _; . 



lOAil : lOBil V 



Si la torsión considerada no es dilatación, hemos demostrado [12, h] 

 que es el producto de un giro por una dilatación, y como el giro no altera 



