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De lo expuesto en el párrafo anterior se deduce: 



a) El producto de dos vectores es una operación conmutativa. 



b) Si uno de los factores es el vector unidad, el producto es el otro 

 factor; es decir, que el módulo de la operación es la unidad. 



c) El valor absoluto del producto de dos vectores es igual al produc- 

 to de los módulos de los factores. 



Y como en la torsión que define el producto se verifica que si B se 

 confunde con O, su homólogo C se confunde también con O, se con- 

 cluye: 



d) Si uno de los factores del producto de dos vectores es nulo, el 

 producto es también nulo, y recíprocamente. 



De la relación OIUAaOIBC se deduce la igualdad O A X OB = OC, 



y multiplicando por OD se obtiene OCxOD =OE, siendo OIUC A OIDE. 



Ahora bien: poniendo OB X OD = OF, se obtiene OIUB a OIDF, y, 



por tanto, se verifica que OIBCaOIFE, o sea OIUA aOIFE, y, por tanto, 

 OA x OF = OD; es decir, OA X OB X OD = OAx [OB X OD], 



luego 



e)' El producto de vectores es una operación asociativa. 



f) El producto de varios vectores es independiente del orden de los 

 factores, y es nulo cuando se anula uno de los factores. 



Pongamos 



OA X OD = OA' o sea OIUA A OÍDA' 

 OBxOD=OB' » OIUBaOIDB' 



oc x op = oc' » oiuc a oidc 



de donde OIABC^OIA'B'C, y, por tanto, en la torsión que esta relación 

 define a la involución cuyo eje m es el de la torsión y los dos pares 

 A — B, C — B son conjugados, corresponde otra involución con este mis- 

 mo eje y los pares de puntos conjugados A' — B'yO — E'; es decir, que 

 si se verifica la igualdad OC = OA + OB (13), también se verifica la 



OC' = OA' + OB', o sea 



(OA + 0_B)OD = OC XOD = OA X OD + OB X OD; 



por consiguiente: 



g) El producto de vectores tiene la propiedad distributiva. 



Si OA y OA' son dos vectores contrarios , se verifica la igualdad 



OA + OA' = 0, y de ésta se deduce la OA X OC + OA' X OC = 0. 



