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Y si también son contrarios OB y OB', aplicando a la torsión OIAB la in- 

 volución OIAA' se obtiene la misma torsión (1 1 , c) y, por tanto, los puntos 

 ByB' son conjugados en la involución; luego 



h) Los productos de un vector por otros dos contrarios son asimis- 

 mo contrarios, y el producto de dos vectores es igual al de sus contra- 

 rios. En general, el producto de varios factores es igual o contrario del 

 producto de sus contrarios, según que el número de factores sea par o 

 impar. 



Cuando el producto de dos vectores es el vector unidad, los dos vec- 

 tores se llaman recíprocos, y, por tanto, si OA y OAj son recíprocos, se 



tiene 



OAj 



1 



OA 



o sea 



OA x _ OU 



OU OA 



luego 



i) Los vectores homólogos del vector unidad, en una torsión y en la 

 torsión inversa, son recíprocos. 



Si, pues, OUi es el rayo conjugado con el OU en la involución pro- 

 yectante de la fundamental I desde el punto O, es armónico el haz 

 O-AAiUUt, y la involución cuyos rayos dobles son O A y OA x es conju- 

 gada de la proyectante de la involución fundamental. Por tanto, 



j) Los centros de los pares de vectores recíprocos forman una invo- 

 lución conjugada con la fundamental que tiene como punto doble el centro 

 del vector unidad. 



Multiplicando la igualdad OC = OB X OA por el vector OB l5 recí- 

 proco del OB, se obtiene 



OC X OB t = OB X OBi X OA = OA = OC : OB; 



luego 



k) El cociente de dos vectores es el producto del dividendo por el 

 recíproco del divisor. 



18. Designando por ¿z, b, c, ... varios vectores de un sistema, y por 

 a ± , b x , c 1? ... sus recíprocos, se tienen las igualdades aa x = 1, bb t = 1 

 ab X a t b x = 1 ; es decir: 



