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o sea 



|OC|X|OA'| = |OD|X|OB'|; 

 y como se tiene 



|OA'| = |OA|, |OB'| = |OB| y |AB| = |A'B'| 



(22, b) resulta, en definitiva, que 



a) Los módulos de los vectores que en dos rectas determinan otras 

 dos antiparalelas son inversamente proporcionales; y, recíprocamente: 



Cuando se confunden los puntos A y C se obtiene la relación 



|OA|2- |OB|XlOD|. 



Ahora bien: la altura AD relativa a la hipotenusa de un triángulo rec- 

 tángulo ABC y un cateto BA son antiparalelas respecto de la hipotenusa 

 BC y del otro cateto AC; puesto que si P, Q, P t y Q t son los puntos ab- 

 solutos respectivos de estas cuatro rectas, PP X . QQ t es la involución ab- 

 soluta y PQ-t . P X Q es otra involución conjugada con ella; luego se verifi- 

 ca la relación 



|BA| 2 =|BC|X|BO|, 

 es decir, 



b) El módulo del cateto de un triángulo proyectivamente rectángulo, 

 cuyos lados son menores que el segmento absoluto, es medio geométrico 

 entre los módulos de la hipotenusa y de su proyección ortogonal proyec- 

 tiva sobre esta recta. 



Y de este teorema, aplicándolo al otro cateto y sumando ordenadamen- 

 te las dos igualdades, se demuestra el teorema de Pitágoras anteriormen- 

 te demostrado (23, b). 



Como los módulos de los vectores son segmentos proyectivos positi- 

 vos,- el concepto de mayor y menor es el mismo que el establecido para 

 estos segmentos (1); por tanto, del último teorema se deduce 



c) El módulo de un cateto de un triángulo rectángulo es menor que 

 la hipotenusa. 



Aplicando este teorema a los triángulos en que se divide un triángulo 

 rectángulo ABC por la altura AD relativa a la hipotenusa, resulta 



IBDKI'BAI y |DC| < |CA|, 

 de donde 



|BC¡<|BA| + |AC|. 



(1) Schur, pág. 63. 



