Cuestiones relativas a la Geometría métrica 



proyeetiva 



por 

 Miguel Vegas 



(continuación) 



25. Mas para esto precisa establecer una definición de área de un 

 polígono que sea independiente de la intuición geométrica. 



Sea D un punto cualquiera de la recta BC, se verifica la igualdad 



(BC) = (DC)-(DB), 



y también la 



|BC| X |AE| = |DC| X |AE| - |DB| X |AE|, 



siendo AE la altura proyeetiva del triángulo ABC. Si, pues, designamos 

 por |ABC| el área del triángulo ABC, la igualdad anterior conduce a 

 esta otra 



|ABC| = IADQ - |ADB|, 



dando a cada área el signo que corresponde al segmento que sirve de 

 base al triángulo respectivo; luego 



a) El área de un triángulo es la diferencia entre las áreas de los que 

 determinan dos vértices con una ceviana cualquiera relativa al tercer vér- 

 tice. 



Ahora bien: si BF y CG son alturas de los triángulos ADB y ADC, 

 se tiene 



|ABC| = -i-|AD|X|CG|--i-|AD|XlBF| = -i-|AD|X[|CG|-|BF|], 



y como la diferencia incluida en el paréntesis es igual a la proyección 

 ortogonal del segmento BC sobre una perpendicular a la recta AD, 

 podemos concluir; que 



b) El área de un triángulo es igual al módulo de una ceviana 

 cualquiera que parte de un vértice por la mitad del módulo de la proyec- 



