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• Consideremos un tetraedro ABCD de aristas menores que el segmento 

 absoluto (fig. 2), sean Q y Dj las proyecciones 

 ortogonales de los vértices C y D sobre el plano 

 perpendicular a la recta AB en el punto A, y 

 sean asimismo D 2 y C 2 las proyecciones ortogo- 

 nales de los puntos C x y D t sobre las rectas AD X 

 y AC l5 respectivamente. Las áreas de los trián- 

 gulos ABC y ABD, están dadas (24, é) por las 

 igualdades 



2|ABCÍ = I-ABIxIÁCjlI, 

 2|ABDI = |AB¡ XIADJ. 



Fig. 2. a 



Pero siendo las rectas CiQj y D-A antiparalelas respecto de las ACj 

 y AD 2 , se verifica que 



de donde 



o sea, 



lAdlXlDiD^IADilXlCiCal, 



|AB| X |Ad| X IDA! = |AB| X |ADj| X IQQI, 



|ABC| x'IDiDal = | ABD| X IQQI; 



luego, habida cuenta de que ICíQjI y ÍDiDgl son los módulos de las altu- 

 ras del tetraedro propuesto, correspondientes a los vértices C y D, se 

 deduce: 



a) En todo tetraedro de aristas menores que el segmento absoluto, 

 se verifica que los productos de las áreas de cada una de sus caras por el 

 módulo de la altura correspondiente son iguales. 



Al tercio de este producto constante se llama volumen del tetraedro. 



Como el producto IADJ X ¡C^l es el duplo del área del triángulo 

 ACÁ proyección ortogonal de cualquiera de las dos caras ACD o BCD 

 del tetraedro ABCD sobre el plano ACA> resulta: 



b) El volumen de un tetraedro es igual a los dos tercios del producto 

 del módulo de una cualquiera de sus aristas por el área de la proyec- 

 ción, sobre un plano perpendicular a ella de cualquiera de las dos caras 

 que pasan por la arista opuesta. 



Por otra parte se tiene 



|ACAl 



1 



.CAIXIAEI, 



