- 354 - 



siendo AE la tercera altura del triángulo AC^; luego si designamos 

 por |ABCD| el volumen del tetraedro ABCD, se verifica que 



IABCD1 = ¿ |AB| X IQDil X |AE|; 



pero |AE| es el valor de la mínima distancia entre las dos aristas AB 

 y CD; luego 



c) El volumen de un tetraedro es igual al tercio del producto del 

 valor de una cualquiera de sus aristas por el de la proyección ortogonal, 

 sobre un plano perpendicular a ella de la arista opuesta, por el de la 

 mínima distancia entre ambas aristas. 



Sea F un punto del plano del triángulo BCD, y unámosle con los 

 cuatro vértices del tetraedro ABCD; se obtienen así otros tres tetraedros 

 cuyos volúmenes están dados por las igualdades 



|AEBC| = 4-|AE| X íAAQI, |AECD| = -Í|AE| X IAíCJV, 



lAEDB^ylAElxlA^Bil, 



siendo A 1; B lf C t y Dj las proyecciones ortogonales de los vértices del 

 tetraedo sobre un plano perpendicular a la ceviana AE. Sumando ordena- 

 damente estas igualdades, resulta 



1AEBC| + |AECD¡ + |AEDB| = 

 = ilAEltlAjBAÍ + lAtCAl + lAABJ], 



y como la suma encerrada en el paréntesis es el área del triángulo BjCíDí 

 proyección del BCD sobre el mencionado plano, se concluye que 



d) El volumen de un tetraedro es igual al tercio del producto de una 

 ceviana cualquiera, relativa a uno cualquiera de sus vértices por el área 

 de la proyección ortogonal de la cara opuesta sobre un plano perpendicu- 

 lar a la dicha ceviana. 



Diremos que un sistema de triángulos en el espacio, en posición y 

 sentido forman una superficie poliédrica cerrada, si cada lado de un trián- 

 gulo tomado en sentido opuesto, es lado de otro triángulo. 



Sea AjAgAg... AnAi una superficie poliédrica O y O' dos puntos cua- 

 lesquiera, A' 1? A' 2 ..., A'n las proyecciones ortogonales de los vértices de 

 la superficie sobre un plano perpendicular a la recta OO'; finalmente, si 



