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ABCD es un tetraedro, diremos que tiene sentido positivo, cuando colo- 

 cado un observador con los pies apoyados en el plano BCD y la cabeza 

 al mismo lado de este plano que el vértice A, recorre el contorno del 

 triángulo BCD en sentido positivo, es decir, dejando al triángulo a la iz- 

 quierda, y diremos que el mencionado tetraedro tiene sentido negativo 

 en caso contrario. 



Si unimos los puntos O y O' con los diferentes vértices del poliedro, 

 se obtienen diferentes tetraedros, entre cuyas sumas respectivas-V y V se 

 verifica la relación 



V - V = SÍOA/-1A/Á/+1I - S|0'A/-iA/A/ + i| = 



= síjOA/-iAA-+x| - |0'A í -_iA t -A m |.] = 



. = S-Í[|OB t -l X |A'/_iA'/A' m l _ lO'B/l X jA^A'/AV+il], 



siendo B¿ el punto de intersección de la recta OO' con el plano A¿_ 1A/A/+1. 

 Por tanto, se verifica la igualdad 



V- V'^~S|AViA'¿AUir100^;^--i-|OO f |li|A'/-iA'/AV-Hil =0, 



por ser nula la suma de las áreas de las proyecciones de las caras de la 

 superficie sobre un plano cualquiera, en virtud de la definición adoptada 

 para la superficie poliédrica cerrada; de donde se deduce que 



e) La suma algebraica de los volúmenes de los tetraedros obtenidos, 

 uniendo los vértices de una superficie poliédrica cerrada con un punto del 

 espacio, es independiente de la posición de este punto. Esta suma se llama 

 volumen del poliedro. 



De aquí pueden deducirse las expresiones de los volúmenes de los 

 diferentes poliedros, llegando a obtener idénticas fórmulas que las esta- 

 blecidas en la geometría euclídea. Más aún: establecido el concepto de 

 sentido en los segmentos, triángulos y tetraedros, queda subsistente 

 para la métrica proyectiva, todo lo relativo a las figuras geométricas de 

 Qrasmann y el cálculo geométrico, que tan excelentemente ha sido 

 expuesto para la geometría ordinaria, por el ilustre profesor Peano, 

 en su notable obra titulada Cálculo geométrico; siendo esto una prueba 

 más de que la Geometría proyectiva penetra aún en las teorías que 

 parecen más alejadas de ella, justificándose así la famosa frase de 

 Cayley: «La Geometría proyectiva es toda la Geometría.» 



