— 356 - 

 IV.— Teoría de la igualdad o del movimiento 



EN LA MÉTRICA PROYECTIVA 



27. Llamaremos movimiento a toda colineación en la cual son inva- 

 riantes el sistema polar absoluto S- el módulo de un vector cualquiera, y el 

 sentido de un tetraedro cualquiera; es decir, toda colineación, acorde en 

 la cual, son invariantes, el sistema polar absoluto y el módulo de un 

 vector cualquiera. 



Sean A y A x dos puntos homólogos; a y a ± dos rectas homologas, que 

 pasan por ellos; P y Q dos puntos de la recta a, y P ± y Q 1? sus correspon- 

 dientes de a ± . Como si P y Q están separados por A y el plano absoluto, 

 también P t y Q t están separados por A 1? y el plano absoluto, resulta 



a) En todo movimiento a en medio rayo que parte de un punto, 

 corresponde otro medio rayo que parte del punto homólogo. 



Si B y C son dos puntos exteriores a la recta éz, pero coplanares con 

 ella, y B x y C t sus homólogos; cuando aquellos dos puntos B y C están 

 separados por la recta a, y el plano absoluto, los B t y C x están también 

 separados por este plano, y la recta a t , de donde se deduce que 



b) En todo movimiento a un medio plano que parte de una recta, 

 corresponde otro medio plano que parte de su recta homologa. 



Finalmente, si a y a t son dos planos homólogos y D-Dj y E-E x son dos 

 pares de puntos homólogos exteriores a estos planos, cuando dos puntos 

 D y E están separados por el plano a y el plano absoluto, lo mismo acon- 

 tece a los puntos D 1 y E 1 respecto de este último plano y el a; luego 



c) En todo movimiento a un medio espacio que parte de un plano, 

 corresponde otro medio espacio que parte del plano homólogo. 



Ahora bien: fijados los dos puntos homólogos A y A x , y dos medios 

 rayos á y a\ que parten de ellos, y dos medios planos homólogos a' y <t\ 

 que parten de las rectas a y a t , que contienen aquellos medios rayos, 

 dado un punto P de la recta c, queda determinado el correspondiente P 1? 

 a causa de la igualdad 



[AP| = IAíPíI; 



del mismo modo, dado un punto B del plano a exterior a la recta a u 

 queda determinado su homólogo B l5 toda vez que por las igualdades 



lABI^LAAl, IPB^IPAI, 



a un lado de la recta o : ; sólo existe un triángulo de vértices A ± y P u y 

 cuyos otros dos lados tienen valores dados; asimismo las igualdades 



lAEl-IA^I, ]BE| = (BiEil y IPEI = ¡P^l 



