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y la igualdad de los sentidos de los tetraedros homólogos, prueban que 

 dado un punto E fuera del plano « queda determinado su punto homó- 

 logo Ejl; por tanto, 



d) Un movimiento queda determinado por el conocimiento de dos 

 puntos homólogos, dos medios rayos homólogos que parten de estos 

 puntos, y dos medios planos homólogos que parten de las rectas que con- 

 tienen aquellos medios rayos. 



Como la colineación inversa de un movimiento es otro movimiento, y 

 el producto de los movimientos es otro movimiento, en virtud de la defi- 

 nición de esta clase de nomografías o colineaciones, se concluye que 



e) Todos los movimientos forman un grupo, y la identidad es un 

 movimiento. 



Los elementos de coincidencia o dobles de un movimiento, se dice que 

 son fijos en él, y como en la identidad son fijos todos los elementos, se 

 deduce que 



f) Todo movimiento en el que permanece fijo un punto, un medio 

 rayo que parte de él y un medio plano que parte de la recta que contiene 

 el citado medio rayo, es la identidad. 



28. Si en un movimiento son fijos todos los puntos del plano absoluto, 

 la colineación, es la identidad, una homología cuyo centro está en este 

 plano, o sea una traslación o una dilatación, cuyo centro O debe estar 

 armónicamente separado del plano central por cada par de puntos homólo 

 AyAi, a causa de la igualdad |OA| = lOA^, es decir, una simetría pro- 

 yectiva de centro O. Pero, en esta simetría, si ABC y A^^ son 

 dos triángulos homólogos los tetraedros OABC y OAuBjCí son de senti- 

 dos contrarios, luego no es un movimiento, y por tanto (27, d), 



a) Todo movimiento en el cual son fijos los puntos del plano absoluto 

 es la identidad o una traslación. 



En una traslación de centro O, si A-A x y B-Bí son dos pares de pun- 

 tos homólogos al segmento absoluto AO, corresponde el segmento absoluto 

 AjO, y los puntos B y B t están al mismo lado de la recta fija AA X ; 

 luego (27, d) 



b) Todo movimiento en el cual hay una recta fija, fijo un medio 

 plano que parte de ella, y tal que el medio rayo de la misma recta que 

 parte de un punto corresponde el medio rayo que, partiendo de su punto 

 homólogo, no contiene a aquel primer punto, es una traslación cuyo centro 

 es el punto absoluto de la citada recta. 



Si en un movimiento son dobles todos los puntos de un plano distinto 

 del plano absoluto, este movimiento es la identidad (27, f); luego toda 

 homología involutiva, respecto de un punto del plano absoluto y de un 



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