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plano central distinto de éste, es decir, una simetría proyectiva res- 

 pecto de este mismo plano, no es un movimiento, no obstante ser inva- 

 riantes en esta colineación, el sistema polar absoluto y el módulo de un 

 vector cualquiera, lo cual, se deduce también observando que si ABC es 

 un triángulo situado en el plano central de simetría, y D-D í un par de 

 puntos homólogos, los dos tetraedros ABCD y ABCD X son equivalentes, 

 es decir, tienen volúmenes iguales, pero son de sentidos contrarios; 

 por tanto, 



c) Dos poliedros simétricos, respecto de un plano, no son iguales, 

 pero sí son equivalentes. 



Cuando, en un movimiento, son dobles todos los puntos de una recta 

 propia p, también es doble la polar absoluta p x del punto absoluto P de 

 aquélla, y, por tanto, es la identidad, o una homografía con los dos 

 ejes/? y pi, o una torsión con estos mismos ejes. En el caso de la homo- 

 grafía con los dos ejes p y p t , cada dos puntos homólogos A y A t están 

 armónicamente separados por los dos ejes, y se llama simetría respecto 

 del eje p. Todo plano a que pasa por el eje p es doble, correspondiéndose 

 entre sí los dos medios planos en que los divide el citado eje, y son fijos 

 un punto cualquiera del mismo eje y uno de los dos medios rayos en que 

 esta recta determina este punto. Todo plano $ perpendicular el eje p es 

 también doble; si B es el punto de intersección y b una recta del mismo 

 plano, trazada por el dicho punto, se corresponden entre sí los dos medios 

 rayos de b que empiezan en B y los dos medios planos de p que empie- 

 zan en la recta b; luego 



d) Todo movimiento en que son fijos un punto propio, un medio rayo 

 que empieza con él y un plano que pasa por este medio rayo, pero corres- 

 pondiéndose los dos medios planos en que queda dividido por la recta 

 que contiene aquel medio rayo, es una simetría respecto de esta recta. 



e) Todo movimiento que tiene fijos un punto A, una recta a que 

 pasa por él y un plano a que pasa por esta recta, correspondiéndose los 

 dos medios rayos de la recta a separados por el punto A y los dos medios 

 planos de a separados por esta recta, es una simetría respecto de un 

 eje p que pasa por el punto A y es perpendicular al citado plano. 



En el caso de una torsión de eje principal p y de eje secundario p u 

 éste es arista de un haz de planos dobles, cada uno de los cuales contiene 

 una torsión plana, en la que son invariantes la involución absoluta y el 

 módulo de cada vector, y, por tanto, es un giro en torno del punto de 

 intersección del dicho plano con el eje p K . Entonces la torsión se llama 

 giro o rotación proyectiva de eje p. A un medio plano que parte de p, 

 corresponde otro que cumple igual condición, y son dobles un punto cual- 



